Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81648 / 115230
↖ ↑ ↗
← S 79.447471°
E 44.252930°		 ← 55.92 m → S 79.447471°
E 44.255676°		 →
↑
55.94 m
↓
↑
55.94 m
↓
S 79.447975°
E 44.252930°		 ← 55.92 m →
3 128 m²		 S 79.447975°
E 44.255676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622928619384766 y=0.879138946533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622928619384766 × 217)
    floor (0.622928619384766 × 131072)
    floor (81648.5)     		tx = 81648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879138946533203 × 217)
    floor (0.879138946533203 × 131072)
    floor (115230.5)     		ty = 115230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81648 / 115230 ti = "17/81648/115230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81648/115230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81648 ÷ 217
    81648 ÷ 131072     		x = 0.6229248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115230 ÷ 217
    115230 ÷ 131072     		y = 0.879135131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6229248046875 × 2 - 1) × π
    0.245849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77235933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879135131835938 × 2 - 1) × π
    -0.758270263671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.38217628971907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77235933} λ = 0.77235933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38217628971907))-π/2
    2×atan(0.092349379651839)-π/2
    2×0.092088183845076-π/2
    0.184176367690152-1.57079632675     		φ = -1.38661996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77235933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.252930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38661996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.447471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81648 KachelY 115230 0.77235933 -1.38661996 44.252930 -79.447471
    Oben rechts KachelX + 1 81649 KachelY 115230 0.77240726 -1.38661996 44.255676 -79.447471
    Unten links KachelX 81648 KachelY + 1 115231 0.77235933 -1.38662874 44.252930 -79.447975
    Unten rechts KachelX + 1 81649 KachelY + 1 115231 0.77240726 -1.38662874 44.255676 -79.447975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38661996--1.38662874) × R
    8.77999999993051e-06 × 6371000     		dl = 55.9373799995573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38661996--1.38662874) × R
    8.77999999993051e-06 × 6371000     		dr = 55.9373799995573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77235933-0.77240726) × cos(-1.38661996) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.183136892293001 × 6371000     		do = 55.9230531985164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77235933-0.77240726) × cos(-1.38662874) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18312826077838 × 6371000     		du = 55.9204174616897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38661996)-sin(-1.38662874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183136892293001-0.18312826077838)×R²
    abs(0.77240726-0.77235933)×8.63151462110467e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.63151462110467e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.63151462110467e-06×40589641000000     		ar = 3128.11535952662m²