Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81647 / 17074
↖ ↑ ↗
← N 78.809445°
E 44.250183°		 ← 59.27 m → N 78.809445°
E 44.252930°		 →
↑
59.31 m
↓
↑
59.31 m
↓
N 78.808912°
E 44.250183°		 ← 59.28 m →
3 516 m²		 N 78.808912°
E 44.252930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622920989990234 y=0.130268096923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622920989990234 × 217)
    floor (0.622920989990234 × 131072)
    floor (81647.5)     		tx = 81647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130268096923828 × 217)
    floor (0.130268096923828 × 131072)
    floor (17074.5)     		ty = 17074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81647 / 17074 ti = "17/81647/17074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81647/17074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81647 ÷ 217
    81647 ÷ 131072     		x = 0.622917175292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17074 ÷ 217
    17074 ÷ 131072     		y = 0.130264282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622917175292969 × 2 - 1) × π
    0.245834350585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.77231139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130264282226562 × 2 - 1) × π
    0.739471435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.32311802938716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77231139} λ = 0.77231139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32311802938716))-π/2
    2×atan(10.2074518735431)-π/2
    2×1.47314031133546-π/2
    2.94628062267092-1.57079632675     		φ = 1.37548430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77231139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.250183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37548430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.809445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81647 KachelY 17074 0.77231139 1.37548430 44.250183 78.809445
    Oben rechts KachelX + 1 81648 KachelY 17074 0.77235933 1.37548430 44.252930 78.809445
    Unten links KachelX 81647 KachelY + 1 17075 0.77231139 1.37547499 44.250183 78.808912
    Unten rechts KachelX + 1 81648 KachelY + 1 17075 0.77235933 1.37547499 44.252930 78.808912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37548430-1.37547499) × R
    9.31000000004012e-06 × 6371000     		dl = 59.3140100002556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37548430-1.37547499) × R
    9.31000000004012e-06 × 6371000     		dr = 59.3140100002556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77231139-0.77235933) × cos(1.37548430) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1940726386848 × 6371000     		do = 59.2747792840189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77231139-0.77235933) × cos(1.37547499) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194081771666862 × 6371000     		du = 59.2775687318236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37548430)-sin(1.37547499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1940726386848-0.194081771666862)×R²
    abs(0.77235933-0.77231139)×9.13298206220436e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.13298206220436e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.13298206220436e-06×40589641000000     		ar = 3515.90757779792m²