Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81647 / 115228
↖ ↑ ↗
← S 79.446465°
E 44.250183°		 ← 55.94 m → S 79.446465°
E 44.252930°		 →
↑
55.94 m
↓
↑
55.94 m
↓
S 79.446968°
E 44.250183°		 ← 55.94 m →
3 129 m²		 S 79.446968°
E 44.252930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622920989990234 y=0.879123687744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622920989990234 × 217)
    floor (0.622920989990234 × 131072)
    floor (81647.5)     		tx = 81647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879123687744141 × 217)
    floor (0.879123687744141 × 131072)
    floor (115228.5)     		ty = 115228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81647 / 115228 ti = "17/81647/115228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81647/115228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81647 ÷ 217
    81647 ÷ 131072     		x = 0.622917175292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115228 ÷ 217
    115228 ÷ 131072     		y = 0.879119873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622917175292969 × 2 - 1) × π
    0.245834350585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.77231139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879119873046875 × 2 - 1) × π
    -0.75823974609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.38208041591983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77231139} λ = 0.77231139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38208041591983))-π/2
    2×atan(0.0923582339621651)-π/2
    2×0.0920969632736746-π/2
    0.184193926547349-1.57079632675     		φ = -1.38660240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77231139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.250183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38660240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.446465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81647 KachelY 115228 0.77231139 -1.38660240 44.250183 -79.446465
    Oben rechts KachelX + 1 81648 KachelY 115228 0.77235933 -1.38660240 44.252930 -79.446465
    Unten links KachelX 81647 KachelY + 1 115229 0.77231139 -1.38661118 44.250183 -79.446968
    Unten rechts KachelX + 1 81648 KachelY + 1 115229 0.77235933 -1.38661118 44.252930 -79.446968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38660240--1.38661118) × R
    8.78000000015255e-06 × 6371000     		dl = 55.9373800009719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38660240--1.38661118) × R
    8.78000000015255e-06 × 6371000     		dr = 55.9373800009719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77231139-0.77235933) × cos(-1.38660240) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18315415527989 × 6371000     		do = 55.9399934103985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77231139-0.77235933) × cos(-1.38661118) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183145523793504 × 6371000     		du = 55.937357132282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38660240)-sin(-1.38661118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18315415527989-0.183145523793504)×R²
    abs(0.77235933-0.77231139)×8.63148638519107e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.63148638519107e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.63148638519107e-06×40589641000000     		ar = 3129.06293534351m²