Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81646 / 20282
↖ ↑ ↗
← N 76.964051°
E 44.247436°		 ← 68.89 m → N 76.964051°
E 44.250183°		 →
↑
68.87 m
↓
↑
68.87 m
↓
N 76.963432°
E 44.247436°		 ← 68.90 m →
4 745 m²		 N 76.963432°
E 44.250183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622913360595703 y=0.154743194580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622913360595703 × 217)
    floor (0.622913360595703 × 131072)
    floor (81646.5)     		tx = 81646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154743194580078 × 217)
    floor (0.154743194580078 × 131072)
    floor (20282.5)     		ty = 20282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81646 / 20282 ti = "17/81646/20282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81646/20282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81646 ÷ 217
    81646 ÷ 131072     		x = 0.622909545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20282 ÷ 217
    20282 ÷ 131072     		y = 0.154739379882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622909545898438 × 2 - 1) × π
    0.245819091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77226345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154739379882812 × 2 - 1) × π
    0.690521240234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16933645540602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77226345} λ = 0.77226345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16933645540602))-π/2
    2×atan(8.75247445638538)-π/2
    2×1.45703621348952-π/2
    2.91407242697903-1.57079632675     		φ = 1.34327610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77226345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.247436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34327610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.964051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81646 KachelY 20282 0.77226345 1.34327610 44.247436 76.964051
    Oben rechts KachelX + 1 81647 KachelY 20282 0.77231139 1.34327610 44.250183 76.964051
    Unten links KachelX 81646 KachelY + 1 20283 0.77226345 1.34326529 44.247436 76.963432
    Unten rechts KachelX + 1 81647 KachelY + 1 20283 0.77231139 1.34326529 44.250183 76.963432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34327610-1.34326529) × R
    1.08100000000277e-05 × 6371000     		dl = 68.8705100001768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34327610-1.34326529) × R
    1.08100000000277e-05 × 6371000     		dr = 68.8705100001768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77226345-0.77231139) × cos(1.34327610) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.225562353224785 × 6371000     		do = 68.8925486499357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77226345-0.77231139) × cos(1.34326529) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.225572884624213 × 6371000     		du = 68.8957652103991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34327610)-sin(1.34326529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225562353224785-0.225572884624213)×R²
    abs(0.77231139-0.77226345)×1.05313994277489e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.05313994277489e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.05313994277489e-05×40589641000000     		ar = 4744.77572383274m²