Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81646 / 17071
↖ ↑ ↗
← N 78.811044°
E 44.247436°		 ← 59.27 m → N 78.811044°
E 44.250183°		 →
↑
59.25 m
↓
↑
59.25 m
↓
N 78.810511°
E 44.247436°		 ← 59.27 m →
3 512 m²		 N 78.810511°
E 44.250183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622913360595703 y=0.130245208740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622913360595703 × 217)
    floor (0.622913360595703 × 131072)
    floor (81646.5)     		tx = 81646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130245208740234 × 217)
    floor (0.130245208740234 × 131072)
    floor (17071.5)     		ty = 17071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81646 / 17071 ti = "17/81646/17071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81646/17071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81646 ÷ 217
    81646 ÷ 131072     		x = 0.622909545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17071 ÷ 217
    17071 ÷ 131072     		y = 0.130241394042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622909545898438 × 2 - 1) × π
    0.245819091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77226345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130241394042969 × 2 - 1) × π
    0.739517211914062 × 3.1415926535     		Φ = 2.32326184008602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77226345} λ = 0.77226345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32326184008602))-π/2
    2×atan(10.2089199198884)-π/2
    2×1.47315426521234-π/2
    2.94630853042468-1.57079632675     		φ = 1.37551220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77226345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.247436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37551220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.811044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81646 KachelY 17071 0.77226345 1.37551220 44.247436 78.811044
    Oben rechts KachelX + 1 81647 KachelY 17071 0.77231139 1.37551220 44.250183 78.811044
    Unten links KachelX 81646 KachelY + 1 17072 0.77226345 1.37550290 44.247436 78.810511
    Unten rechts KachelX + 1 81647 KachelY + 1 17072 0.77231139 1.37550290 44.250183 78.810511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37551220-1.37550290) × R
    9.29999999987885e-06 × 6371000     		dl = 59.2502999992281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37551220-1.37550290) × R
    9.29999999987885e-06 × 6371000     		dr = 59.2502999992281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77226345-0.77231139) × cos(1.37551220) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.194045269067466 × 6371000     		do = 59.2664198985282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77226345-0.77231139) × cos(1.37550290) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.194054392290028 × 6371000     		du = 59.2692063655304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37551220)-sin(1.37550290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194045269067466-0.194054392290028)×R²
    abs(0.77231139-0.77226345)×9.12322256213516e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.12322256213516e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.12322256213516e-06×40589641000000     		ar = 3511.63570851785m²