Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81641 / 20268
↖ ↑ ↗
← N 76.972722°
E 44.233704°		 ← 68.85 m → N 76.972722°
E 44.236450°		 →
↑
68.87 m
↓
↑
68.87 m
↓
N 76.972102°
E 44.233704°		 ← 68.85 m →
4 742 m²		 N 76.972102°
E 44.236450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622875213623047 y=0.154636383056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622875213623047 × 217)
    floor (0.622875213623047 × 131072)
    floor (81641.5)     		tx = 81641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154636383056641 × 217)
    floor (0.154636383056641 × 131072)
    floor (20268.5)     		ty = 20268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81641 / 20268 ti = "17/81641/20268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81641/20268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81641 ÷ 217
    81641 ÷ 131072     		x = 0.622871398925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20268 ÷ 217
    20268 ÷ 131072     		y = 0.154632568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622871398925781 × 2 - 1) × π
    0.245742797851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.77202377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154632568359375 × 2 - 1) × π
    0.69073486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.1700075720007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77202377} λ = 0.77202377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1700075720007))-π/2
    2×atan(8.75835035872482)-π/2
    2×1.45711187807012-π/2
    2.91422375614023-1.57079632675     		φ = 1.34342743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77202377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.233704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34342743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.972722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81641 KachelY 20268 0.77202377 1.34342743 44.233704 76.972722
    Oben rechts KachelX + 1 81642 KachelY 20268 0.77207171 1.34342743 44.236450 76.972722
    Unten links KachelX 81641 KachelY + 1 20269 0.77202377 1.34341662 44.233704 76.972102
    Unten rechts KachelX + 1 81642 KachelY + 1 20269 0.77207171 1.34341662 44.236450 76.972102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34342743-1.34341662) × R
    1.08100000000277e-05 × 6371000     		dl = 68.8705100001768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34342743-1.34341662) × R
    1.08100000000277e-05 × 6371000     		dr = 68.8705100001768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77202377-0.77207171) × cos(1.34342743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22541492060836 × 6371000     		do = 68.8475189338045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77202377-0.77207171) × cos(1.34341662) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225425452376668 × 6371000     		du = 68.8507356069335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34342743)-sin(1.34341662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22541492060836-0.225425452376668)×R²
    abs(0.77207171-0.77202377)×1.05317683080919e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05317683080919e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05317683080919e-05×40589641000000     		ar = 4741.67450821481m²