Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81641 / 115210
↖ ↑ ↗
← S 79.437407°
E 44.233704°		 ← 55.99 m → S 79.437407°
E 44.236450°		 →
↑
55.94 m
↓
↑
55.94 m
↓
S 79.437910°
E 44.233704°		 ← 55.98 m →
3 132 m²		 S 79.437910°
E 44.236450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622875213623047 y=0.878986358642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622875213623047 × 217)
    floor (0.622875213623047 × 131072)
    floor (81641.5)     		tx = 81641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878986358642578 × 217)
    floor (0.878986358642578 × 131072)
    floor (115210.5)     		ty = 115210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81641 / 115210 ti = "17/81641/115210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81641/115210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81641 ÷ 217
    81641 ÷ 131072     		x = 0.622871398925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115210 ÷ 217
    115210 ÷ 131072     		y = 0.878982543945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622871398925781 × 2 - 1) × π
    0.245742797851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.77202377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878982543945312 × 2 - 1) × π
    -0.757965087890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.38121755172667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77202377} λ = 0.77202377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38121755172667))-π/2
    2×atan(0.0924379609670369)-π/2
    2×0.0921760153784018-π/2
    0.184352030756804-1.57079632675     		φ = -1.38644430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77202377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.233704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38644430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.437407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81641 KachelY 115210 0.77202377 -1.38644430 44.233704 -79.437407
    Oben rechts KachelX + 1 81642 KachelY 115210 0.77207171 -1.38644430 44.236450 -79.437407
    Unten links KachelX 81641 KachelY + 1 115211 0.77202377 -1.38645308 44.233704 -79.437910
    Unten rechts KachelX + 1 81642 KachelY + 1 115211 0.77207171 -1.38645308 44.236450 -79.437910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38644430--1.38645308) × R
    8.77999999993051e-06 × 6371000     		dl = 55.9373799995573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38644430--1.38645308) × R
    8.77999999993051e-06 × 6371000     		dr = 55.9373799995573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77202377-0.77207171) × cos(-1.38644430) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183309578603131 × 6371000     		do = 55.9874636939127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77202377-0.77207171) × cos(-1.38645308) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183300947371087 × 6371000     		du = 55.9848274934787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38644430)-sin(-1.38645308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183309578603131-0.183300947371087)×R²
    abs(0.77207171-0.77202377)×8.63123204353222e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.63123204353222e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.63123204353222e-06×40589641000000     		ar = 3131.7183007426m²