Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81640 / 20294
↖ ↑ ↗
← N 76.956615°
E 44.230957°		 ← 68.93 m → N 76.956615°
E 44.233704°		 →
↑
68.93 m
↓
↑
68.93 m
↓
N 76.955995°
E 44.230957°		 ← 68.93 m →
4 752 m²		 N 76.955995°
E 44.233704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622867584228516 y=0.154834747314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622867584228516 × 217)
    floor (0.622867584228516 × 131072)
    floor (81640.5)     		tx = 81640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154834747314453 × 217)
    floor (0.154834747314453 × 131072)
    floor (20294.5)     		ty = 20294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81640 / 20294 ti = "17/81640/20294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81640/20294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81640 ÷ 217
    81640 ÷ 131072     		x = 0.62286376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20294 ÷ 217
    20294 ÷ 131072     		y = 0.154830932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62286376953125 × 2 - 1) × π
    0.2457275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77197583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154830932617188 × 2 - 1) × π
    0.690338134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16876121261058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77197583} λ = 0.77197583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16876121261058))-π/2
    2×atan(8.74744110635003)-π/2
    2×1.45697131874805-π/2
    2.9139426374961-1.57079632675     		φ = 1.34314631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77197583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.230957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34314631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.956615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81640 KachelY 20294 0.77197583 1.34314631 44.230957 76.956615
    Oben rechts KachelX + 1 81641 KachelY 20294 0.77202377 1.34314631 44.233704 76.956615
    Unten links KachelX 81640 KachelY + 1 20295 0.77197583 1.34313549 44.230957 76.955995
    Unten rechts KachelX + 1 81641 KachelY + 1 20295 0.77202377 1.34313549 44.233704 76.955995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34314631-1.34313549) × R
    1.0819999999967e-05 × 6371000     		dl = 68.9342199997895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34314631-1.34313549) × R
    1.0819999999967e-05 × 6371000     		dr = 68.9342199997895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77197583-0.77202377) × cos(1.34314631) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225688796471877 × 6371000     		do = 68.9311676720873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77197583-0.77202377) × cos(1.34313549) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225699337296708 × 6371000     		du = 68.9343871113115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34314631)-sin(1.34313549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225688796471877-0.225699337296708)×R²
    abs(0.77202377-0.77197583)×1.05408248309569e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05408248309569e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05408248309569e-05×40589641000000     		ar = 4751.82724196302m²