Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81640 / 20267
↖ ↑ ↗
← N 76.973341°
E 44.230957°		 ← 68.84 m → N 76.973341°
E 44.233704°		 →
↑
68.81 m
↓
↑
68.81 m
↓
N 76.972722°
E 44.230957°		 ← 68.85 m →
4 737 m²		 N 76.972722°
E 44.233704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622867584228516 y=0.154628753662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622867584228516 × 217)
    floor (0.622867584228516 × 131072)
    floor (81640.5)     		tx = 81640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154628753662109 × 217)
    floor (0.154628753662109 × 131072)
    floor (20267.5)     		ty = 20267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81640 / 20267 ti = "17/81640/20267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81640/20267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81640 ÷ 217
    81640 ÷ 131072     		x = 0.62286376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20267 ÷ 217
    20267 ÷ 131072     		y = 0.154624938964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62286376953125 × 2 - 1) × π
    0.2457275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77197583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154624938964844 × 2 - 1) × π
    0.690750122070312 × 3.1415926535     		Φ = 2.17005550890032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77197583} λ = 0.77197583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17005550890032))-π/2
    2×atan(8.75877021695007)-π/2
    2×1.45711728079018-π/2
    2.91423456158036-1.57079632675     		φ = 1.34343823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77197583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.230957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34343823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.973341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81640 KachelY 20267 0.77197583 1.34343823 44.230957 76.973341
    Oben rechts KachelX + 1 81641 KachelY 20267 0.77202377 1.34343823 44.233704 76.973341
    Unten links KachelX 81640 KachelY + 1 20268 0.77197583 1.34342743 44.230957 76.972722
    Unten rechts KachelX + 1 81641 KachelY + 1 20268 0.77202377 1.34342743 44.233704 76.972722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34343823-1.34342743) × R
    1.08000000000885e-05 × 6371000     		dl = 68.8068000005639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34343823-1.34342743) × R
    1.08000000000885e-05 × 6371000     		dr = 68.8068000005639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77197583-0.77202377) × cos(1.34343823) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225404398556364 × 6371000     		do = 68.8443052282872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77197583-0.77202377) × cos(1.34342743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22541492060836 × 6371000     		du = 68.8475189338045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34343823)-sin(1.34342743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225404398556364-0.22541492060836)×R²
    abs(0.77202377-0.77197583)×1.05220519963645e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05220519963645e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05220519963645e-05×40589641000000     		ar = 4737.06690353839m²