Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81639 / 19681
↖ ↑ ↗
← N 77.331207°
E 44.228210°		 ← 66.98 m → N 77.331207°
E 44.230957°		 →
↑
66.96 m
↓
↑
66.96 m
↓
N 77.330604°
E 44.228210°		 ← 66.99 m →
4 485 m²		 N 77.330604°
E 44.230957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622859954833984 y=0.150157928466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622859954833984 × 217)
    floor (0.622859954833984 × 131072)
    floor (81639.5)     		tx = 81639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150157928466797 × 217)
    floor (0.150157928466797 × 131072)
    floor (19681.5)     		ty = 19681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81639 / 19681 ti = "17/81639/19681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81639/19681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81639 ÷ 217
    81639 ÷ 131072     		x = 0.622856140136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19681 ÷ 217
    19681 ÷ 131072     		y = 0.150154113769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622856140136719 × 2 - 1) × π
    0.245712280273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.77192789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150154113769531 × 2 - 1) × π
    0.699691772460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.19814653207767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77192789} λ = 0.77192789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19814653207767))-π/2
    2×atan(9.00830141885132)-π/2
    2×1.46024025027985-π/2
    2.92048050055969-1.57079632675     		φ = 1.34968417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77192789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.228210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34968417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.331207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81639 KachelY 19681 0.77192789 1.34968417 44.228210 77.331207
    Oben rechts KachelX + 1 81640 KachelY 19681 0.77197583 1.34968417 44.230957 77.331207
    Unten links KachelX 81639 KachelY + 1 19682 0.77192789 1.34967366 44.228210 77.330604
    Unten rechts KachelX + 1 81640 KachelY + 1 19682 0.77197583 1.34967366 44.230957 77.330604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34968417-1.34967366) × R
    1.05099999998526e-05 × 6371000     		dl = 66.9592099990608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34968417-1.34967366) × R
    1.05099999998526e-05 × 6371000     		dr = 66.9592099990608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77192789-0.77197583) × cos(1.34968417) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.219314838873217 × 6371000     		do = 66.9843969559443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77192789-0.77197583) × cos(1.34967366) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.219325092986118 × 6371000     		du = 66.9875288259652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34968417)-sin(1.34967366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219314838873217-0.219325092986118)×R²
    abs(0.77197583-0.77192789)×1.0254112901259e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.0254112901259e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.0254112901259e-05×40589641000000     		ar = 4485.32715629191m²