Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81639 / 115225
↖ ↑ ↗
← S 79.444956°
E 44.228210°		 ← 55.95 m → S 79.444956°
E 44.230957°		 →
↑
55.94 m
↓
↑
55.94 m
↓
S 79.445459°
E 44.228210°		 ← 55.95 m →
3 130 m²		 S 79.445459°
E 44.230957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622859954833984 y=0.879100799560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622859954833984 × 217)
    floor (0.622859954833984 × 131072)
    floor (81639.5)     		tx = 81639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879100799560547 × 217)
    floor (0.879100799560547 × 131072)
    floor (115225.5)     		ty = 115225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81639 / 115225 ti = "17/81639/115225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81639/115225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81639 ÷ 217
    81639 ÷ 131072     		x = 0.622856140136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115225 ÷ 217
    115225 ÷ 131072     		y = 0.879096984863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622856140136719 × 2 - 1) × π
    0.245712280273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.77192789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879096984863281 × 2 - 1) × π
    -0.758193969726562 × 3.1415926535     		Φ = -2.38193660522097
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77192789} λ = 0.77192789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38193660522097))-π/2
    2×atan(0.0923715170194367)-π/2
    2×0.092110133968192-π/2
    0.184220267936384-1.57079632675     		φ = -1.38657606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77192789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.228210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38657606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.444956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81639 KachelY 115225 0.77192789 -1.38657606 44.228210 -79.444956
    Oben rechts KachelX + 1 81640 KachelY 115225 0.77197583 -1.38657606 44.230957 -79.444956
    Unten links KachelX 81639 KachelY + 1 115226 0.77192789 -1.38658484 44.228210 -79.445459
    Unten rechts KachelX + 1 81640 KachelY + 1 115226 0.77197583 -1.38658484 44.230957 -79.445459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38657606--1.38658484) × R
    8.77999999993051e-06 × 6371000     		dl = 55.9373799995573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38657606--1.38658484) × R
    8.77999999993051e-06 × 6371000     		dr = 55.9373799995573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77192789-0.77197583) × cos(-1.38657606) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.183180049654328 × 6371000     		do = 55.9479022190026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77192789-0.77197583) × cos(-1.38658484) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.183171418210302 × 6371000     		du = 55.9452659538238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38657606)-sin(-1.38658484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183180049654328-0.183171418210302)×R²
    abs(0.77197583-0.77192789)×8.6314440257973e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.6314440257973e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.6314440257973e-06×40589641000000     		ar = 3129.50533375652m²