Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81638 / 20248
↖ ↑ ↗
← N 76.985098°
E 44.225464°		 ← 68.77 m → N 76.985098°
E 44.228210°		 →
↑
68.74 m
↓
↑
68.74 m
↓
N 76.984480°
E 44.225464°		 ← 68.77 m →
4 727 m²		 N 76.984480°
E 44.228210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622852325439453 y=0.154483795166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622852325439453 × 217)
    floor (0.622852325439453 × 131072)
    floor (81638.5)     		tx = 81638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154483795166016 × 217)
    floor (0.154483795166016 × 131072)
    floor (20248.5)     		ty = 20248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81638 / 20248 ti = "17/81638/20248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81638/20248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81638 ÷ 217
    81638 ÷ 131072     		x = 0.622848510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20248 ÷ 217
    20248 ÷ 131072     		y = 0.15447998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622848510742188 × 2 - 1) × π
    0.245697021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77187996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15447998046875 × 2 - 1) × π
    0.6910400390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1709663099931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77187996} λ = 0.77187996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1709663099931))-π/2
    2×atan(8.76675134849502)-π/2
    2×1.45721988454353-π/2
    2.91443976908707-1.57079632675     		φ = 1.34364344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77187996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.225464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34364344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.985098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81638 KachelY 20248 0.77187996 1.34364344 44.225464 76.985098
    Oben rechts KachelX + 1 81639 KachelY 20248 0.77192789 1.34364344 44.228210 76.985098
    Unten links KachelX 81638 KachelY + 1 20249 0.77187996 1.34363265 44.225464 76.984480
    Unten rechts KachelX + 1 81639 KachelY + 1 20249 0.77192789 1.34363265 44.228210 76.984480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34364344-1.34363265) × R
    1.07899999999272e-05 × 6371000     		dl = 68.7430899995365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34364344-1.34363265) × R
    1.07899999999272e-05 × 6371000     		dr = 68.7430899995365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77187996-0.77192789) × cos(1.34364344) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.225204464831397 × 6371000     		do = 68.7688925458617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77187996-0.77192789) × cos(1.34363265) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.225214977639649 × 6371000     		du = 68.7721027583305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34364344)-sin(1.34363265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225204464831397-0.225214977639649)×R²
    abs(0.77192789-0.77187996)×1.05128082519002e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.05128082519002e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.05128082519002e-05×40589641000000     		ar = 4727.49650943939m²