Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81637 / 115229
↖ ↑ ↗
← S 79.446968°
E 44.222717°		 ← 55.94 m → S 79.446968°
E 44.225464°		 →
↑
55.94 m
↓
↑
55.94 m
↓
S 79.447471°
E 44.222717°		 ← 55.93 m →
3 129 m²		 S 79.447471°
E 44.225464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622844696044922 y=0.879131317138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622844696044922 × 217)
    floor (0.622844696044922 × 131072)
    floor (81637.5)     		tx = 81637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879131317138672 × 217)
    floor (0.879131317138672 × 131072)
    floor (115229.5)     		ty = 115229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81637 / 115229 ti = "17/81637/115229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81637/115229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81637 ÷ 217
    81637 ÷ 131072     		x = 0.622840881347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115229 ÷ 217
    115229 ÷ 131072     		y = 0.879127502441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622840881347656 × 2 - 1) × π
    0.245681762695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.77183202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879127502441406 × 2 - 1) × π
    -0.758255004882812 × 3.1415926535     		Φ = -2.38212835281945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77183202} λ = 0.77183202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38212835281945))-π/2
    2×atan(0.09235380670089)-π/2
    2×0.0920925734559403-π/2
    0.184185146911881-1.57079632675     		φ = -1.38661118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77183202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.222717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38661118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.446968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81637 KachelY 115229 0.77183202 -1.38661118 44.222717 -79.446968
    Oben rechts KachelX + 1 81638 KachelY 115229 0.77187996 -1.38661118 44.225464 -79.446968
    Unten links KachelX 81637 KachelY + 1 115230 0.77183202 -1.38661996 44.222717 -79.447471
    Unten rechts KachelX + 1 81638 KachelY + 1 115230 0.77187996 -1.38661996 44.225464 -79.447471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38661118--1.38661996) × R
    8.77999999993051e-06 × 6371000     		dl = 55.9373799995573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38661118--1.38661996) × R
    8.77999999993051e-06 × 6371000     		dr = 55.9373799995573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77183202-0.77187996) × cos(-1.38661118) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.183145523793504 × 6371000     		do = 55.9373571324116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77183202-0.77187996) × cos(-1.38661996) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.183136892293001 × 6371000     		du = 55.934720849983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38661118)-sin(-1.38661996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183145523793504-0.183136892293001)×R²
    abs(0.77187996-0.77183202)×8.63150050339767e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.63150050339767e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.63150050339767e-06×40589641000000     		ar = 3128.91546878343m²