Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81636 / 115227
↖ ↑ ↗
← S 79.445962°
E 44.219970°		 ← 55.94 m → S 79.445962°
E 44.222717°		 →
↑
55.94 m
↓
↑
55.94 m
↓
S 79.446465°
E 44.219970°		 ← 55.94 m →
3 129 m²		 S 79.446465°
E 44.222717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622837066650391 y=0.879116058349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622837066650391 × 217)
    floor (0.622837066650391 × 131072)
    floor (81636.5)     		tx = 81636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879116058349609 × 217)
    floor (0.879116058349609 × 131072)
    floor (115227.5)     		ty = 115227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81636 / 115227 ti = "17/81636/115227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81636/115227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81636 ÷ 217
    81636 ÷ 131072     		x = 0.622833251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115227 ÷ 217
    115227 ÷ 131072     		y = 0.879112243652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622833251953125 × 2 - 1) × π
    0.24566650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77178408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879112243652344 × 2 - 1) × π
    -0.758224487304688 × 3.1415926535     		Φ = -2.38203247902021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77178408} λ = 0.77178408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38203247902021))-π/2
    2×atan(0.0923626614356745)-π/2
    2×0.0921013532982884-π/2
    0.184202706596577-1.57079632675     		φ = -1.38659362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77178408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.219970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38659362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.445962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81636 KachelY 115227 0.77178408 -1.38659362 44.219970 -79.445962
    Oben rechts KachelX + 1 81637 KachelY 115227 0.77183202 -1.38659362 44.222717 -79.445962
    Unten links KachelX 81636 KachelY + 1 115228 0.77178408 -1.38660240 44.219970 -79.446465
    Unten rechts KachelX + 1 81637 KachelY + 1 115228 0.77183202 -1.38660240 44.222717 -79.446465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38659362--1.38660240) × R
    8.77999999993051e-06 × 6371000     		dl = 55.9373799995573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38659362--1.38660240) × R
    8.77999999993051e-06 × 6371000     		dr = 55.9373799995573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77178408-0.77183202) × cos(-1.38659362) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183162786752156 × 6371000     		do = 55.9426296842026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77178408-0.77183202) × cos(-1.38660240) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18315415527989 × 6371000     		du = 55.9399934103985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38659362)-sin(-1.38660240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183162786752156-0.18315415527989)×R²
    abs(0.77183202-0.77178408)×8.63147226592975e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.63147226592975e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.63147226592975e-06×40589641000000     		ar = 3129.2104016948m²