Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81635 / 17251
↖ ↑ ↗
← N 78.714704°
E 44.217224°		 ← 59.76 m → N 78.714704°
E 44.219970°		 →
↑
59.76 m
↓
↑
59.76 m
↓
N 78.714166°
E 44.217224°		 ← 59.76 m →
3 571 m²		 N 78.714166°
E 44.219970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622829437255859 y=0.131618499755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622829437255859 × 217)
    floor (0.622829437255859 × 131072)
    floor (81635.5)     		tx = 81635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131618499755859 × 217)
    floor (0.131618499755859 × 131072)
    floor (17251.5)     		ty = 17251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81635 / 17251 ti = "17/81635/17251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81635/17251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81635 ÷ 217
    81635 ÷ 131072     		x = 0.622825622558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17251 ÷ 217
    17251 ÷ 131072     		y = 0.131614685058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622825622558594 × 2 - 1) × π
    0.245651245117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.77173615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131614685058594 × 2 - 1) × π
    0.736770629882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.31463319815441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77173615} λ = 0.77173615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31463319815441))-π/2
    2×atan(10.1212097593688)-π/2
    2×1.47231353884819-π/2
    2.94462707769638-1.57079632675     		φ = 1.37383075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77173615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.217224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37383075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.714704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81635 KachelY 17251 0.77173615 1.37383075 44.217224 78.714704
    Oben rechts KachelX + 1 81636 KachelY 17251 0.77178408 1.37383075 44.219970 78.714704
    Unten links KachelX 81635 KachelY + 1 17252 0.77173615 1.37382137 44.217224 78.714166
    Unten rechts KachelX + 1 81636 KachelY + 1 17252 0.77178408 1.37382137 44.219970 78.714166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37383075-1.37382137) × R
    9.38000000005879e-06 × 6371000     		dl = 59.7599800003745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37383075-1.37382137) × R
    9.38000000005879e-06 × 6371000     		dr = 59.7599800003745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77173615-0.77178408) × cos(1.37383075) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.195694483947077 × 6371000     		do = 59.7576648779184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77173615-0.77178408) × cos(1.37382137) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.195703682575339 × 6371000     		du = 59.7604737897178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37383075)-sin(1.37382137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195694483947077-0.195703682575339)×R²
    abs(0.77178408-0.77173615)×9.19862826220808e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.19862826220808e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.19862826220808e-06×40589641000000     		ar = 3571.20078838942m²