Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81634 / 20305
↖ ↑ ↗
← N 76.949794°
E 44.214478°		 ← 68.97 m → N 76.949794°
E 44.217224°		 →
↑
68.93 m
↓
↑
68.93 m
↓
N 76.949174°
E 44.214478°		 ← 68.97 m →
4 754 m²		 N 76.949174°
E 44.217224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622821807861328 y=0.154918670654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622821807861328 × 217)
    floor (0.622821807861328 × 131072)
    floor (81634.5)     		tx = 81634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154918670654297 × 217)
    floor (0.154918670654297 × 131072)
    floor (20305.5)     		ty = 20305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81634 / 20305 ti = "17/81634/20305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81634/20305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81634 ÷ 217
    81634 ÷ 131072     		x = 0.622817993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20305 ÷ 217
    20305 ÷ 131072     		y = 0.154914855957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622817993164062 × 2 - 1) × π
    0.245635986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77168821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154914855957031 × 2 - 1) × π
    0.690170288085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.16823390671476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77168821} λ = 0.77168821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16823390671476))-π/2
    2×atan(8.74282974498718)-π/2
    2×1.45691179994574-π/2
    2.91382359989148-1.57079632675     		φ = 1.34302727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77168821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.214478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34302727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.949794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81634 KachelY 20305 0.77168821 1.34302727 44.214478 76.949794
    Oben rechts KachelX + 1 81635 KachelY 20305 0.77173615 1.34302727 44.217224 76.949794
    Unten links KachelX 81634 KachelY + 1 20306 0.77168821 1.34301645 44.214478 76.949174
    Unten rechts KachelX + 1 81635 KachelY + 1 20306 0.77173615 1.34301645 44.217224 76.949174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34302727-1.34301645) × R
    1.0820000000189e-05 × 6371000     		dl = 68.9342200012042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34302727-1.34301645) × R
    1.0820000000189e-05 × 6371000     		dr = 68.9342200012042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77168821-0.77173615) × cos(1.34302727) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225804763574992 × 6371000     		do = 68.9665870103717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77168821-0.77173615) × cos(1.34301645) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225815304109052 × 6371000     		du = 68.9698063607869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34302727)-sin(1.34301645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225804763574992-0.225815304109052)×R²
    abs(0.77173615-0.77168821)×1.05405340596332e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05405340596332e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05405340596332e-05×40589641000000     		ar = 4754.26884342473m²