Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81633 / 20303
↖ ↑ ↗
← N 76.951035°
E 44.211731°		 ← 68.96 m → N 76.951035°
E 44.214478°		 →
↑
68.93 m
↓
↑
68.93 m
↓
N 76.950415°
E 44.211731°		 ← 68.96 m →
4 754 m²		 N 76.950415°
E 44.214478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622814178466797 y=0.154903411865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622814178466797 × 217)
    floor (0.622814178466797 × 131072)
    floor (81633.5)     		tx = 81633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154903411865234 × 217)
    floor (0.154903411865234 × 131072)
    floor (20303.5)     		ty = 20303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81633 / 20303 ti = "17/81633/20303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81633/20303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81633 ÷ 217
    81633 ÷ 131072     		x = 0.622810363769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20303 ÷ 217
    20303 ÷ 131072     		y = 0.154899597167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622810363769531 × 2 - 1) × π
    0.245620727539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.77164027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154899597167969 × 2 - 1) × π
    0.690200805664062 × 3.1415926535     		Φ = 2.168329780514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77164027} λ = 0.77164027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.168329780514))-π/2
    2×atan(8.74366799347333)-π/2
    2×1.45692262382041-π/2
    2.91384524764082-1.57079632675     		φ = 1.34304892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77164027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.211731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34304892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.951035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81633 KachelY 20303 0.77164027 1.34304892 44.211731 76.951035
    Oben rechts KachelX + 1 81634 KachelY 20303 0.77168821 1.34304892 44.214478 76.951035
    Unten links KachelX 81633 KachelY + 1 20304 0.77164027 1.34303810 44.211731 76.950415
    Unten rechts KachelX + 1 81634 KachelY + 1 20304 0.77168821 1.34303810 44.214478 76.950415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34304892-1.34303810) × R
    1.0819999999967e-05 × 6371000     		dl = 68.9342199997895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34304892-1.34303810) × R
    1.0819999999967e-05 × 6371000     		dr = 68.9342199997895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77164027-0.77168821) × cos(1.34304892) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225783672685793 × 6371000     		do = 68.960145309931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77164027-0.77168821) × cos(1.34303810) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225794213272747 × 6371000     		du = 68.9633646765013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34304892)-sin(1.34303810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225783672685793-0.225794213272747)×R²
    abs(0.77168821-0.77164027)×1.05405869536279e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05405869536279e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05405869536279e-05×40589641000000     		ar = 4753.82479040937m²