Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81632 / 114950
↖ ↑ ↗
← S 79.305698°
E 44.208985°		 ← 56.67 m → S 79.305698°
E 44.211731°		 →
↑
56.64 m
↓
↑
56.64 m
↓
S 79.306208°
E 44.208985°		 ← 56.66 m →
3 209 m²		 S 79.306208°
E 44.211731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622806549072266 y=0.877002716064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622806549072266 × 217)
    floor (0.622806549072266 × 131072)
    floor (81632.5)     		tx = 81632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877002716064453 × 217)
    floor (0.877002716064453 × 131072)
    floor (114950.5)     		ty = 114950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81632 / 114950 ti = "17/81632/114950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81632/114950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81632 ÷ 217
    81632 ÷ 131072     		x = 0.622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114950 ÷ 217
    114950 ÷ 131072     		y = 0.876998901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622802734375 × 2 - 1) × π
    0.24560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77159234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876998901367188 × 2 - 1) × π
    -0.753997802734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36875395782545
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77159234} λ = 0.77159234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36875395782545))-π/2
    2×atan(0.0935972798057333)-π/2
    2×0.0933253893896543-π/2
    0.186650778779309-1.57079632675     		φ = -1.38414555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77159234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.208985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38414555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.305698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81632 KachelY 114950 0.77159234 -1.38414555 44.208985 -79.305698
    Oben rechts KachelX + 1 81633 KachelY 114950 0.77164027 -1.38414555 44.211731 -79.305698
    Unten links KachelX 81632 KachelY + 1 114951 0.77159234 -1.38415444 44.208985 -79.306208
    Unten rechts KachelX + 1 81633 KachelY + 1 114951 0.77164027 -1.38415444 44.211731 -79.306208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38414555--1.38415444) × R
    8.89000000015017e-06 × 6371000     		dl = 56.6381900009567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38414555--1.38415444) × R
    8.89000000015017e-06 × 6371000     		dr = 56.6381900009567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77159234-0.77164027) × cos(-1.38414555) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185568890511509 × 6371000     		do = 56.6656931114767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77159234-0.77164027) × cos(-1.38415444) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185560154912303 × 6371000     		du = 56.6630255911699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38414555)-sin(-1.38415444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185568890511509-0.185560154912303)×R²
    abs(0.77164027-0.77159234)×8.73559920608336e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.73559920608336e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.73559920608336e-06×40589641000000     		ar = 3209.36675122923m²