Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81631 / 20301
↖ ↑ ↗
← N 76.952275°
E 44.206238°		 ← 68.95 m → N 76.952275°
E 44.208985°		 →
↑
69 m
↓
↑
69 m
↓
N 76.951655°
E 44.206238°		 ← 68.96 m →
4 758 m²		 N 76.951655°
E 44.208985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622798919677734 y=0.154888153076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622798919677734 × 217)
    floor (0.622798919677734 × 131072)
    floor (81631.5)     		tx = 81631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154888153076172 × 217)
    floor (0.154888153076172 × 131072)
    floor (20301.5)     		ty = 20301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81631 / 20301 ti = "17/81631/20301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81631/20301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81631 ÷ 217
    81631 ÷ 131072     		x = 0.622795104980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20301 ÷ 217
    20301 ÷ 131072     		y = 0.154884338378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622795104980469 × 2 - 1) × π
    0.245590209960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.77154440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154884338378906 × 2 - 1) × π
    0.690231323242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.16842565431324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77154440} λ = 0.77154440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16842565431324))-π/2
    2×atan(8.7445063223294)-π/2
    2×1.4569334466842-π/2
    2.9138668933684-1.57079632675     		φ = 1.34307057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77154440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.206238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34307057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.952275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81631 KachelY 20301 0.77154440 1.34307057 44.206238 76.952275
    Oben rechts KachelX + 1 81632 KachelY 20301 0.77159234 1.34307057 44.208985 76.952275
    Unten links KachelX 81631 KachelY + 1 20302 0.77154440 1.34305974 44.206238 76.951655
    Unten rechts KachelX + 1 81632 KachelY + 1 20302 0.77159234 1.34305974 44.208985 76.951655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34307057-1.34305974) × R
    1.08300000001282e-05 × 6371000     		dl = 68.997930000817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34307057-1.34305974) × R
    1.08300000001282e-05 × 6371000     		dr = 68.997930000817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77154440-0.77159234) × cos(1.34307057) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225762581690764 × 6371000     		do = 68.953703577167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77154440-0.77159234) × cos(1.34305974) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225773132072407 × 6371000     		du = 68.9569259352873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34307057)-sin(1.34305974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225762581690764-0.225773132072407)×R²
    abs(0.77159234-0.77154440)×1.05503816421326e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05503816421326e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05503816421326e-05×40589641000000     		ar = 4757.77398079717m²