Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81631 / 114951
↖ ↑ ↗
← S 79.306208°
E 44.206238°		 ← 56.67 m → S 79.306208°
E 44.208985°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
S 79.306718°
E 44.206238°		 ← 56.67 m →
3 213 m²		 S 79.306718°
E 44.208985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622798919677734 y=0.877010345458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622798919677734 × 217)
    floor (0.622798919677734 × 131072)
    floor (81631.5)     		tx = 81631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877010345458984 × 217)
    floor (0.877010345458984 × 131072)
    floor (114951.5)     		ty = 114951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81631 / 114951 ti = "17/81631/114951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81631/114951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81631 ÷ 217
    81631 ÷ 131072     		x = 0.622795104980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114951 ÷ 217
    114951 ÷ 131072     		y = 0.877006530761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622795104980469 × 2 - 1) × π
    0.245590209960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.77154440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877006530761719 × 2 - 1) × π
    -0.754013061523438 × 3.1415926535     		Φ = -2.36880189472507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77154440} λ = 0.77154440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36880189472507))-π/2
    2×atan(0.0935927931498656)-π/2
    2×0.0933209416957226-π/2
    0.186641883391445-1.57079632675     		φ = -1.38415444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77154440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.206238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38415444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.306208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81631 KachelY 114951 0.77154440 -1.38415444 44.206238 -79.306208
    Oben rechts KachelX + 1 81632 KachelY 114951 0.77159234 -1.38415444 44.208985 -79.306208
    Unten links KachelX 81631 KachelY + 1 114952 0.77154440 -1.38416334 44.206238 -79.306718
    Unten rechts KachelX + 1 81632 KachelY + 1 114952 0.77159234 -1.38416334 44.208985 -79.306718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38415444--1.38416334) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dl = 56.7018999991549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38415444--1.38416334) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dr = 56.7018999991549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77154440-0.77159234) × cos(-1.38415444) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185560154912303 × 6371000     		do = 56.6748476285675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77154440-0.77159234) × cos(-1.38416334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185551409472086 × 6371000     		du = 56.6721765460177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38415444)-sin(-1.38416334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185560154912303-0.185551409472086)×R²
    abs(0.77159234-0.77154440)×8.74544021658985e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.74544021658985e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.74544021658985e-06×40589641000000     		ar = 3213.49581516022m²