Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81630 / 115243
↖ ↑ ↗
← S 79.454008°
E 44.203491°		 ← 55.90 m → S 79.454008°
E 44.206238°		 →
↑
55.87 m
↓
↑
55.87 m
↓
S 79.454511°
E 44.203491°		 ← 55.90 m →
3 123 m²		 S 79.454511°
E 44.206238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622791290283203 y=0.879238128662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622791290283203 × 217)
    floor (0.622791290283203 × 131072)
    floor (81630.5)     		tx = 81630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879238128662109 × 217)
    floor (0.879238128662109 × 131072)
    floor (115243.5)     		ty = 115243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81630 / 115243 ti = "17/81630/115243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81630/115243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81630 ÷ 217
    81630 ÷ 131072     		x = 0.622787475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115243 ÷ 217
    115243 ÷ 131072     		y = 0.879234313964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622787475585938 × 2 - 1) × π
    0.245574951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77149646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879234313964844 × 2 - 1) × π
    -0.758468627929688 × 3.1415926535     		Φ = -2.38279946941413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77149646} λ = 0.77149646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38279946941413))-π/2
    2×atan(0.0922918473219404)-π/2
    2×0.0920311377247341-π/2
    0.184062275449468-1.57079632675     		φ = -1.38673405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77149646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.203491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38673405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.454008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81630 KachelY 115243 0.77149646 -1.38673405 44.203491 -79.454008
    Oben rechts KachelX + 1 81631 KachelY 115243 0.77154440 -1.38673405 44.206238 -79.454008
    Unten links KachelX 81630 KachelY + 1 115244 0.77149646 -1.38674282 44.203491 -79.454511
    Unten rechts KachelX + 1 81631 KachelY + 1 115244 0.77154440 -1.38674282 44.206238 -79.454511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38673405--1.38674282) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dl = 55.8736699999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38673405--1.38674282) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dr = 55.8736699999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77149646-0.77154440) × cos(-1.38673405) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183024730657401 × 6371000     		do = 55.9004637993006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77149646-0.77154440) × cos(-1.38674282) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183016108790489 × 6371000     		du = 55.897830459219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38673405)-sin(-1.38674282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183024730657401-0.183016108790489)×R²
    abs(0.77154440-0.77149646)×8.62186691161226e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.62186691161226e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.62186691161226e-06×40589641000000     		ar = 3123.29049998454m²