Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81630 / 115051
↖ ↑ ↗
← S 79.357054°
E 44.203491°		 ← 56.41 m → S 79.357054°
E 44.206238°		 →
↑
56.38 m
↓
↑
56.38 m
↓
S 79.357561°
E 44.203491°		 ← 56.41 m →
3 180 m²		 S 79.357561°
E 44.206238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622791290283203 y=0.877773284912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622791290283203 × 217)
    floor (0.622791290283203 × 131072)
    floor (81630.5)     		tx = 81630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877773284912109 × 217)
    floor (0.877773284912109 × 131072)
    floor (115051.5)     		ty = 115051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81630 / 115051 ti = "17/81630/115051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81630/115051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81630 ÷ 217
    81630 ÷ 131072     		x = 0.622787475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115051 ÷ 217
    115051 ÷ 131072     		y = 0.877769470214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622787475585938 × 2 - 1) × π
    0.245574951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77149646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877769470214844 × 2 - 1) × π
    -0.755538940429688 × 3.1415926535     		Φ = -2.37359558468708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77149646} λ = 0.77149646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37359558468708))-π/2
    2×atan(0.0931452119566612)-π/2
    2×0.0928772286978143-π/2
    0.185754457395629-1.57079632675     		φ = -1.38504187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77149646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.203491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38504187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.357054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81630 KachelY 115051 0.77149646 -1.38504187 44.203491 -79.357054
    Oben rechts KachelX + 1 81631 KachelY 115051 0.77154440 -1.38504187 44.206238 -79.357054
    Unten links KachelX 81630 KachelY + 1 115052 0.77149646 -1.38505072 44.203491 -79.357561
    Unten rechts KachelX + 1 81631 KachelY + 1 115052 0.77154440 -1.38505072 44.206238 -79.357561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38504187--1.38505072) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dl = 56.3833499996762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38504187--1.38505072) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dr = 56.3833499996762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77149646-0.77154440) × cos(-1.38504187) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184688064039281 × 6371000     		do = 56.4084886283279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77149646-0.77154440) × cos(-1.38505072) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184679366276907 × 6371000     		du = 56.4058321078183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38504187)-sin(-1.38505072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184688064039281-0.184679366276907)×R²
    abs(0.77154440-0.77149646)×8.69776237444331e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.69776237444331e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.69776237444331e-06×40589641000000     		ar = 3180.42466541328m²