Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8163 / 7852
↖ ↑ ↗
← N 79.516660°
W135.159302°		 ← 111.13 m → N 79.516660°
W135.153809°		 →
↑
111.11 m
↓
↑
111.11 m
↓
N 79.515661°
W135.159302°		 ← 111.14 m →
12 349 m²		 N 79.515661°
W135.153809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124565124511719 y=0.119819641113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124565124511719 × 216)
    floor (0.124565124511719 × 65536)
    floor (8163.5)     		tx = 8163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119819641113281 × 216)
    floor (0.119819641113281 × 65536)
    floor (7852.5)     		ty = 7852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8163 / 7852 ti = "16/8163/7852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8163/7852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8163 ÷ 216
    8163 ÷ 65536     		x = 0.124557495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7852 ÷ 216
    7852 ÷ 65536     		y = 0.11981201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124557495117188 × 2 - 1) × π
    -0.750885009765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.35897483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11981201171875 × 2 - 1) × π
    0.7603759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38879158186664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35897483} λ = -2.35897483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38879158186664))-π/2
    2×atan(10.900313844202)-π/2
    2×1.47931192936451-π/2
    2.95862385872903-1.57079632675     		φ = 1.38782753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35897483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.159302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38782753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.516660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8163 KachelY 7852 -2.35897483 1.38782753 -135.159302 79.516660
    Oben rechts KachelX + 1 8164 KachelY 7852 -2.35887896 1.38782753 -135.153809 79.516660
    Unten links KachelX 8163 KachelY + 1 7853 -2.35897483 1.38781009 -135.159302 79.515661
    Unten rechts KachelX + 1 8164 KachelY + 1 7853 -2.35887896 1.38781009 -135.153809 79.515661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38782753-1.38781009) × R
    1.74399999999242e-05 × 6371000     		dl = 111.110239999517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38782753-1.38781009) × R
    1.74399999999242e-05 × 6371000     		dr = 111.110239999517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35897483--2.35887896) × cos(1.38782753) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.181949612176305 × 6371000     		do = 111.132597873528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35897483--2.35887896) × cos(1.38781009) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.181966761037634 × 6371000     		du = 111.143072188297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38782753)-sin(1.38781009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181949612176305-0.181966761037634)×R²
    abs(-2.35887896--2.35897483)×1.71488613281423e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.71488613281423e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.71488613281423e-05×40589641000000     		ar = 12348.5515236081m²