Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81629 / 19677
↖ ↑ ↗
← N 77.333616°
E 44.200745°		 ← 66.96 m → N 77.333616°
E 44.203491°		 →
↑
66.96 m
↓
↑
66.96 m
↓
N 77.333014°
E 44.200745°		 ← 66.96 m →
4 484 m²		 N 77.333014°
E 44.203491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622783660888672 y=0.150127410888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622783660888672 × 217)
    floor (0.622783660888672 × 131072)
    floor (81629.5)     		tx = 81629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150127410888672 × 217)
    floor (0.150127410888672 × 131072)
    floor (19677.5)     		ty = 19677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81629 / 19677 ti = "17/81629/19677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81629/19677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81629 ÷ 217
    81629 ÷ 131072     		x = 0.622779846191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19677 ÷ 217
    19677 ÷ 131072     		y = 0.150123596191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622779846191406 × 2 - 1) × π
    0.245559692382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.77144853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150123596191406 × 2 - 1) × π
    0.699752807617188 × 3.1415926535     		Φ = 2.19833827967616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77144853} λ = 0.77144853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19833827967616))-π/2
    2×atan(9.0100289046301)-π/2
    2×1.46026127485963-π/2
    2.92052254971926-1.57079632675     		φ = 1.34972622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77144853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.200745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34972622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.333616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81629 KachelY 19677 0.77144853 1.34972622 44.200745 77.333616
    Oben rechts KachelX + 1 81630 KachelY 19677 0.77149646 1.34972622 44.203491 77.333616
    Unten links KachelX 81629 KachelY + 1 19678 0.77144853 1.34971571 44.200745 77.333014
    Unten rechts KachelX + 1 81630 KachelY + 1 19678 0.77149646 1.34971571 44.203491 77.333014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34972622-1.34971571) × R
    1.05100000000746e-05 × 6371000     		dl = 66.9592100004755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34972622-1.34971571) × R
    1.05100000000746e-05 × 6371000     		dr = 66.9592100004755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77144853-0.77149646) × cos(1.34972622) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.219273812422734 × 6371000     		do = 66.9578964872862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77144853-0.77149646) × cos(1.34971571) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.219284066632554 × 6371000     		du = 66.9610277336128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34972622)-sin(1.34971571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219273812422734-0.219284066632554)×R²
    abs(0.77149646-0.77144853)×1.0254209819871e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.0254209819871e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.0254209819871e-05×40589641000000     		ar = 4483.55268509362m²