Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81628 / 19684
↖ ↑ ↗
← N 77.329400°
E 44.197998°		 ← 66.99 m → N 77.329400°
E 44.200745°		 →
↑
66.96 m
↓
↑
66.96 m
↓
N 77.328797°
E 44.197998°		 ← 67 m →
4 486 m²		 N 77.328797°
E 44.200745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622776031494141 y=0.150180816650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622776031494141 × 217)
    floor (0.622776031494141 × 131072)
    floor (81628.5)     		tx = 81628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150180816650391 × 217)
    floor (0.150180816650391 × 131072)
    floor (19684.5)     		ty = 19684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81628 / 19684 ti = "17/81628/19684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81628/19684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81628 ÷ 217
    81628 ÷ 131072     		x = 0.622772216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19684 ÷ 217
    19684 ÷ 131072     		y = 0.150177001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622772216796875 × 2 - 1) × π
    0.24554443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77140059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150177001953125 × 2 - 1) × π
    0.69964599609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.19800272137881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77140059} λ = 0.77140059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19800272137881))-π/2
    2×atan(9.00700602187693)-π/2
    2×1.4602244792636-π/2
    2.92044895852721-1.57079632675     		φ = 1.34965263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77140059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.197998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34965263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.329400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81628 KachelY 19684 0.77140059 1.34965263 44.197998 77.329400
    Oben rechts KachelX + 1 81629 KachelY 19684 0.77144853 1.34965263 44.200745 77.329400
    Unten links KachelX 81628 KachelY + 1 19685 0.77140059 1.34964212 44.197998 77.328797
    Unten rechts KachelX + 1 81629 KachelY + 1 19685 0.77144853 1.34964212 44.200745 77.328797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34965263-1.34964212) × R
    1.05100000000746e-05 × 6371000     		dl = 66.9592100004755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34965263-1.34964212) × R
    1.05100000000746e-05 × 6371000     		dr = 66.9592100004755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77140059-0.77144853) × cos(1.34965263) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219345610895712 × 6371000     		do = 66.993795523531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77140059-0.77144853) × cos(1.34964212) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219355864935907 × 6371000     		du = 66.9969273713456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34965263)-sin(1.34964212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219345610895712-0.219355864935907)×R²
    abs(0.77144853-0.77140059)×1.02540401950291e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02540401950291e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02540401950291e-05×40589641000000     		ar = 4485.95647631593m²