Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81628 / 17084
↖ ↑ ↗
← N 78.804113°
E 44.197998°		 ← 59.30 m → N 78.804113°
E 44.200745°		 →
↑
59.31 m
↓
↑
59.31 m
↓
N 78.803580°
E 44.197998°		 ← 59.31 m →
3 518 m²		 N 78.803580°
E 44.200745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622776031494141 y=0.130344390869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622776031494141 × 217)
    floor (0.622776031494141 × 131072)
    floor (81628.5)     		tx = 81628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130344390869141 × 217)
    floor (0.130344390869141 × 131072)
    floor (17084.5)     		ty = 17084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81628 / 17084 ti = "17/81628/17084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81628/17084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81628 ÷ 217
    81628 ÷ 131072     		x = 0.622772216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17084 ÷ 217
    17084 ÷ 131072     		y = 0.130340576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622772216796875 × 2 - 1) × π
    0.24554443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77140059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130340576171875 × 2 - 1) × π
    0.73931884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.32263866039096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77140059} λ = 0.77140059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32263866039096))-π/2
    2×atan(10.2025599102061)-π/2
    2×1.47309378419261-π/2
    2.94618756838522-1.57079632675     		φ = 1.37539124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77140059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.197998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37539124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.804113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81628 KachelY 17084 0.77140059 1.37539124 44.197998 78.804113
    Oben rechts KachelX + 1 81629 KachelY 17084 0.77144853 1.37539124 44.200745 78.804113
    Unten links KachelX 81628 KachelY + 1 17085 0.77140059 1.37538193 44.197998 78.803580
    Unten rechts KachelX + 1 81629 KachelY + 1 17085 0.77144853 1.37538193 44.200745 78.803580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37539124-1.37538193) × R
    9.30999999981807e-06 × 6371000     		dl = 59.314009998841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37539124-1.37538193) × R
    9.30999999981807e-06 × 6371000     		dr = 59.314009998841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77140059-0.77144853) × cos(1.37539124) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194163928509562 × 6371000     		do = 59.3026615463012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77140059-0.77144853) × cos(1.37538193) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194173061323438 × 6371000     		du = 59.3054509427376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37539124)-sin(1.37538193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194163928509562-0.194173061323438)×R²
    abs(0.77144853-0.77140059)×9.13281387615594e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.13281387615594e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.13281387615594e-06×40589641000000     		ar = 3517.56138504295m²