Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81626 / 17089
↖ ↑ ↗
← N 78.801447°
E 44.192505°		 ← 59.32 m → N 78.801447°
E 44.195251°		 →
↑
59.31 m
↓
↑
59.31 m
↓
N 78.800913°
E 44.192505°		 ← 59.32 m →
3 518 m²		 N 78.800913°
E 44.195251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622760772705078 y=0.130382537841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622760772705078 × 217)
    floor (0.622760772705078 × 131072)
    floor (81626.5)     		tx = 81626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130382537841797 × 217)
    floor (0.130382537841797 × 131072)
    floor (17089.5)     		ty = 17089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81626 / 17089 ti = "17/81626/17089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81626/17089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81626 ÷ 217
    81626 ÷ 131072     		x = 0.622756958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17089 ÷ 217
    17089 ÷ 131072     		y = 0.130378723144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622756958007812 × 2 - 1) × π
    0.245513916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77130471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130378723144531 × 2 - 1) × π
    0.739242553710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.32239897589286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77130471} λ = 0.77130471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32239897589286))-π/2
    2×atan(10.200114807793)-π/2
    2×1.47307051241517-π/2
    2.94614102483034-1.57079632675     		φ = 1.37534470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77130471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.192505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37534470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.801447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81626 KachelY 17089 0.77130471 1.37534470 44.192505 78.801447
    Oben rechts KachelX + 1 81627 KachelY 17089 0.77135265 1.37534470 44.195251 78.801447
    Unten links KachelX 81626 KachelY + 1 17090 0.77130471 1.37533539 44.192505 78.800913
    Unten rechts KachelX + 1 81627 KachelY + 1 17090 0.77135265 1.37533539 44.195251 78.800913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37534470-1.37533539) × R
    9.31000000004012e-06 × 6371000     		dl = 59.3140100002556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37534470-1.37533539) × R
    9.31000000004012e-06 × 6371000     		dr = 59.3140100002556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77130471-0.77135265) × cos(1.37534470) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194209582601033 × 6371000     		do = 59.3166054809729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77130471-0.77135265) × cos(1.37533539) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194218715330769 × 6371000     		du = 59.3193948517106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37534470)-sin(1.37533539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194209582601033-0.194218715330769)×R²
    abs(0.77135265-0.77130471)×9.13272973573909e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.13272973573909e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.13272973573909e-06×40589641000000     		ar = 3518.38845522821m²