Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81623 / 115001
↖ ↑ ↗
← S 79.331661°
E 44.184265°		 ← 56.54 m → S 79.331661°
E 44.187012°		 →
↑
56.51 m
↓
↑
56.51 m
↓
S 79.332169°
E 44.184265°		 ← 56.54 m →
3 195 m²		 S 79.332169°
E 44.187012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622737884521484 y=0.877391815185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622737884521484 × 217)
    floor (0.622737884521484 × 131072)
    floor (81623.5)     		tx = 81623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877391815185547 × 217)
    floor (0.877391815185547 × 131072)
    floor (115001.5)     		ty = 115001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81623 / 115001 ti = "17/81623/115001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81623/115001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81623 ÷ 217
    81623 ÷ 131072     		x = 0.622734069824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115001 ÷ 217
    115001 ÷ 131072     		y = 0.877388000488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622734069824219 × 2 - 1) × π
    0.245468139648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.77116090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877388000488281 × 2 - 1) × π
    -0.754776000976562 × 3.1415926535     		Φ = -2.37119873970608
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77116090} λ = 0.77116090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37119873970608))-π/2
    2×atan(0.0933687343577077)-π/2
    2×0.0930988239147177-π/2
    0.186197647829435-1.57079632675     		φ = -1.38459868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77116090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.184265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38459868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.331661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81623 KachelY 115001 0.77116090 -1.38459868 44.184265 -79.331661
    Oben rechts KachelX + 1 81624 KachelY 115001 0.77120884 -1.38459868 44.187012 -79.331661
    Unten links KachelX 81623 KachelY + 1 115002 0.77116090 -1.38460755 44.184265 -79.332169
    Unten rechts KachelX + 1 81624 KachelY + 1 115002 0.77120884 -1.38460755 44.187012 -79.332169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38459868--1.38460755) × R
    8.86999999982763e-06 × 6371000     		dl = 56.5107699989018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38459868--1.38460755) × R
    8.86999999982763e-06 × 6371000     		dr = 56.5107699989018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77116090-0.77120884) × cos(-1.38459868) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185123611774212 × 6371000     		do = 56.5415161175742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77116090-0.77120884) × cos(-1.38460755) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185114895082726 × 6371000     		du = 56.5388538156269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38459868)-sin(-1.38460755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185123611774212-0.185114895082726)×R²
    abs(0.77120884-0.77116090)×8.71669148552745e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.71669148552745e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.71669148552745e-06×40589641000000     		ar = 3195.12938830251m²