Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81621 / 17045
↖ ↑ ↗
← N 78.824893°
E 44.178772°		 ← 59.19 m → N 78.824893°
E 44.181519°		 →
↑
59.19 m
↓
↑
59.19 m
↓
N 78.824360°
E 44.178772°		 ← 59.20 m →
3 504 m²		 N 78.824360°
E 44.181519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622722625732422 y=0.130046844482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622722625732422 × 217)
    floor (0.622722625732422 × 131072)
    floor (81621.5)     		tx = 81621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130046844482422 × 217)
    floor (0.130046844482422 × 131072)
    floor (17045.5)     		ty = 17045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81621 / 17045 ti = "17/81621/17045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81621/17045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81621 ÷ 217
    81621 ÷ 131072     		x = 0.622718811035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17045 ÷ 217
    17045 ÷ 131072     		y = 0.130043029785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622718811035156 × 2 - 1) × π
    0.245437622070312 × 3.1415926535     		Λ = 0.77106503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130043029785156 × 2 - 1) × π
    0.739913940429688 × 3.1415926535     		Φ = 2.32450819947614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77106503} λ = 0.77106503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32450819947614))-π/2
    2×atan(10.2216518357168)-π/2
    2×1.47327511638499-π/2
    2.94655023276997-1.57079632675     		φ = 1.37575391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77106503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.178772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37575391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.824893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81621 KachelY 17045 0.77106503 1.37575391 44.178772 78.824893
    Oben rechts KachelX + 1 81622 KachelY 17045 0.77111297 1.37575391 44.181519 78.824893
    Unten links KachelX 81621 KachelY + 1 17046 0.77106503 1.37574462 44.178772 78.824360
    Unten rechts KachelX + 1 81622 KachelY + 1 17046 0.77111297 1.37574462 44.181519 78.824360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37575391-1.37574462) × R
    9.28999999993962e-06 × 6371000     		dl = 59.1865899996154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37575391-1.37574462) × R
    9.28999999993962e-06 × 6371000     		dr = 59.1865899996154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77106503-0.77111297) × cos(1.37575391) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193808147685882 × 6371000     		do = 59.1939969249509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77106503-0.77111297) × cos(1.37574462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193817261534006 × 6371000     		du = 59.1967805287585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37575391)-sin(1.37574462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193808147685882-0.193817261534006)×R²
    abs(0.77111297-0.77106503)×9.11384812440907e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.11384812440907e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.11384812440907e-06×40589641000000     		ar = 3503.57320251675m²