Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81621 / 115052
↖ ↑ ↗
← S 79.357561°
E 44.178772°		 ← 56.41 m → S 79.357561°
E 44.181519°		 →
↑
56.45 m
↓
↑
56.45 m
↓
S 79.358068°
E 44.178772°		 ← 56.40 m →
3 184 m²		 S 79.358068°
E 44.181519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622722625732422 y=0.877780914306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622722625732422 × 217)
    floor (0.622722625732422 × 131072)
    floor (81621.5)     		tx = 81621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877780914306641 × 217)
    floor (0.877780914306641 × 131072)
    floor (115052.5)     		ty = 115052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81621 / 115052 ti = "17/81621/115052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81621/115052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81621 ÷ 217
    81621 ÷ 131072     		x = 0.622718811035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115052 ÷ 217
    115052 ÷ 131072     		y = 0.877777099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622718811035156 × 2 - 1) × π
    0.245437622070312 × 3.1415926535     		Λ = 0.77106503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877777099609375 × 2 - 1) × π
    -0.75555419921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.3736435215867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77106503} λ = 0.77106503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3736435215867))-π/2
    2×atan(0.0931407469710052)-π/2
    2×0.0928728021154807-π/2
    0.185745604230961-1.57079632675     		φ = -1.38505072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77106503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.178772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38505072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.357561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81621 KachelY 115052 0.77106503 -1.38505072 44.178772 -79.357561
    Oben rechts KachelX + 1 81622 KachelY 115052 0.77111297 -1.38505072 44.181519 -79.357561
    Unten links KachelX 81621 KachelY + 1 115053 0.77106503 -1.38505958 44.178772 -79.358068
    Unten rechts KachelX + 1 81622 KachelY + 1 115053 0.77111297 -1.38505958 44.181519 -79.358068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38505072--1.38505958) × R
    8.86000000011045e-06 × 6371000     		dl = 56.4470600007037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38505072--1.38505958) × R
    8.86000000011045e-06 × 6371000     		dr = 56.4470600007037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77106503-0.77111297) × cos(-1.38505072) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184679366276907 × 6371000     		do = 56.4058321078183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77106503-0.77111297) × cos(-1.38505958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184670658672063 × 6371000     		du = 56.4031725811653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38505072)-sin(-1.38505958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184679366276907-0.184670658672063)×R²
    abs(0.77111297-0.77106503)×8.7076048437551e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.7076048437551e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.7076048437551e-06×40589641000000     		ar = 3183.86832817382m²