Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81620 / 17326
↖ ↑ ↗
← N 78.674321°
E 44.176025°		 ← 59.98 m → N 78.674321°
E 44.178772°		 →
↑
60.01 m
↓
↑
60.01 m
↓
N 78.673781°
E 44.176025°		 ← 59.98 m →
3 600 m²		 N 78.673781°
E 44.178772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622714996337891 y=0.132190704345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622714996337891 × 217)
    floor (0.622714996337891 × 131072)
    floor (81620.5)     		tx = 81620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132190704345703 × 217)
    floor (0.132190704345703 × 131072)
    floor (17326.5)     		ty = 17326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81620 / 17326 ti = "17/81620/17326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81620/17326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81620 ÷ 217
    81620 ÷ 131072     		x = 0.622711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17326 ÷ 217
    17326 ÷ 131072     		y = 0.132186889648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622711181640625 × 2 - 1) × π
    0.24542236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77101709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132186889648438 × 2 - 1) × π
    0.735626220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31103793068291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77101709} λ = 0.77101709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31103793068291))-π/2
    2×atan(10.084886637943)-π/2
    2×1.47196113098622-π/2
    2.94392226197244-1.57079632675     		φ = 1.37312594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77101709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.176025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37312594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.674321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81620 KachelY 17326 0.77101709 1.37312594 44.176025 78.674321
    Oben rechts KachelX + 1 81621 KachelY 17326 0.77106503 1.37312594 44.178772 78.674321
    Unten links KachelX 81620 KachelY + 1 17327 0.77101709 1.37311652 44.176025 78.673781
    Unten rechts KachelX + 1 81621 KachelY + 1 17327 0.77106503 1.37311652 44.178772 78.673781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37312594-1.37311652) × R
    9.42000000003773e-06 × 6371000     		dl = 60.0148200002404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37312594-1.37311652) × R
    9.42000000003773e-06 × 6371000     		dr = 60.0148200002404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77101709-0.77106503) × cos(1.37312594) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.196385617719922 × 6371000     		do = 59.981222617564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77101709-0.77106503) × cos(1.37311652) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.196394854273106 × 6371000     		du = 59.9840436986551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37312594)-sin(1.37311652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196385617719922-0.196394854273106)×R²
    abs(0.77106503-0.77101709)×9.23655318366134e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.23655318366134e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.23655318366134e-06×40589641000000     		ar = 3599.8469322343m²