Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81620 / 115196
↖ ↑ ↗
← S 79.430356°
E 44.176025°		 ← 56.02 m → S 79.430356°
E 44.178772°		 →
↑
56.06 m
↓
↑
56.06 m
↓
S 79.430860°
E 44.176025°		 ← 56.02 m →
3 141 m²		 S 79.430860°
E 44.178772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622714996337891 y=0.878879547119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622714996337891 × 217)
    floor (0.622714996337891 × 131072)
    floor (81620.5)     		tx = 81620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878879547119141 × 217)
    floor (0.878879547119141 × 131072)
    floor (115196.5)     		ty = 115196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81620 / 115196 ti = "17/81620/115196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81620/115196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81620 ÷ 217
    81620 ÷ 131072     		x = 0.622711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115196 ÷ 217
    115196 ÷ 131072     		y = 0.878875732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622711181640625 × 2 - 1) × π
    0.24542236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77101709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878875732421875 × 2 - 1) × π
    -0.75775146484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.38054643513199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77101709} λ = 0.77101709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38054643513199))-π/2
    2×atan(0.0925000184381905)-π/2
    2×0.0922375467248932-π/2
    0.184475093449786-1.57079632675     		φ = -1.38632123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77101709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.176025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38632123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.430356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81620 KachelY 115196 0.77101709 -1.38632123 44.176025 -79.430356
    Oben rechts KachelX + 1 81621 KachelY 115196 0.77106503 -1.38632123 44.178772 -79.430356
    Unten links KachelX 81620 KachelY + 1 115197 0.77101709 -1.38633003 44.176025 -79.430860
    Unten rechts KachelX + 1 81621 KachelY + 1 115197 0.77106503 -1.38633003 44.178772 -79.430860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38632123--1.38633003) × R
    8.80000000003101e-06 × 6371000     		dl = 56.0648000001975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38632123--1.38633003) × R
    8.80000000003101e-06 × 6371000     		dr = 56.0648000001975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77101709-0.77106503) × cos(-1.38632123) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.183430561822581 × 6371000     		do = 56.0244150833707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77101709-0.77106503) × cos(-1.38633003) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.183421911127989 × 6371000     		du = 56.0217729385732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38632123)-sin(-1.38633003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183430561822581-0.183421911127989)×R²
    abs(0.77106503-0.77101709)×8.65069459254908e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.65069459254908e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.65069459254908e-06×40589641000000     		ar = 3140.9235610577m²