Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81619 / 19896
↖ ↑ ↗
← N 77.201045°
E 44.173279°		 ← 67.65 m → N 77.201045°
E 44.176025°		 →
↑
67.66 m
↓
↑
67.66 m
↓
N 77.200436°
E 44.173279°		 ← 67.65 m →
4 577 m²		 N 77.200436°
E 44.176025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622707366943359 y=0.151798248291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622707366943359 × 217)
    floor (0.622707366943359 × 131072)
    floor (81619.5)     		tx = 81619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151798248291016 × 217)
    floor (0.151798248291016 × 131072)
    floor (19896.5)     		ty = 19896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81619 / 19896 ti = "17/81619/19896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81619/19896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81619 ÷ 217
    81619 ÷ 131072     		x = 0.622703552246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19896 ÷ 217
    19896 ÷ 131072     		y = 0.15179443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622703552246094 × 2 - 1) × π
    0.245407104492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.77096916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15179443359375 × 2 - 1) × π
    0.6964111328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18784009865936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77096916} λ = 0.77096916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18784009865936))-π/2
    2×atan(8.91593476307693)-π/2
    2×1.45910437303218-π/2
    2.91820874606437-1.57079632675     		φ = 1.34741242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77096916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.173279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34741242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.201045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81619 KachelY 19896 0.77096916 1.34741242 44.173279 77.201045
    Oben rechts KachelX + 1 81620 KachelY 19896 0.77101709 1.34741242 44.176025 77.201045
    Unten links KachelX 81619 KachelY + 1 19897 0.77096916 1.34740180 44.173279 77.200436
    Unten rechts KachelX + 1 81620 KachelY + 1 19897 0.77101709 1.34740180 44.176025 77.200436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34741242-1.34740180) × R
    1.06199999998502e-05 × 6371000     		dl = 67.6600199990456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34741242-1.34740180) × R
    1.06199999998502e-05 × 6371000     		dr = 67.6600199990456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77096916-0.77101709) × cos(1.34741242) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.221530713334913 × 6371000     		do = 67.6470683311818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77096916-0.77101709) × cos(1.34740180) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.221541069451471 × 6371000     		du = 67.6502306959569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34741242)-sin(1.34740180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221530713334913-0.221541069451471)×R²
    abs(0.77101709-0.77096916)×1.03561165579746e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.03561165579746e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.03561165579746e-05×40589641000000     		ar = 4577.10897897867m²