Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81619 / 115050
↖ ↑ ↗
← S 79.356547°
E 44.173279°		 ← 56.40 m → S 79.356547°
E 44.176025°		 →
↑
56.38 m
↓
↑
56.38 m
↓
S 79.357054°
E 44.173279°		 ← 56.40 m →
3 180 m²		 S 79.357054°
E 44.176025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622707366943359 y=0.877765655517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622707366943359 × 217)
    floor (0.622707366943359 × 131072)
    floor (81619.5)     		tx = 81619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877765655517578 × 217)
    floor (0.877765655517578 × 131072)
    floor (115050.5)     		ty = 115050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81619 / 115050 ti = "17/81619/115050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81619/115050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81619 ÷ 217
    81619 ÷ 131072     		x = 0.622703552246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115050 ÷ 217
    115050 ÷ 131072     		y = 0.877761840820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622703552246094 × 2 - 1) × π
    0.245407104492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.77096916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877761840820312 × 2 - 1) × π
    -0.755523681640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.37354764778746
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77096916} λ = 0.77096916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37354764778746))-π/2
    2×atan(0.0931496771563599)-π/2
    2×0.092881655488699-π/2
    0.185763310977398-1.57079632675     		φ = -1.38503302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77096916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.173279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38503302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.356547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81619 KachelY 115050 0.77096916 -1.38503302 44.173279 -79.356547
    Oben rechts KachelX + 1 81620 KachelY 115050 0.77101709 -1.38503302 44.176025 -79.356547
    Unten links KachelX 81619 KachelY + 1 115051 0.77096916 -1.38504187 44.173279 -79.357054
    Unten rechts KachelX + 1 81620 KachelY + 1 115051 0.77101709 -1.38504187 44.176025 -79.357054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38503302--1.38504187) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dl = 56.3833499996762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38503302--1.38504187) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dr = 56.3833499996762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77096916-0.77101709) × cos(-1.38503302) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.184696761787191 × 6371000     		do = 56.3993781136668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77096916-0.77101709) × cos(-1.38504187) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.184688064039281 × 6371000     		du = 56.3967221517088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38503302)-sin(-1.38504187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184696761787191-0.184688064039281)×R²
    abs(0.77101709-0.77096916)×8.69774790920874e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.69774790920874e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.69774790920874e-06×40589641000000     		ar = 3179.91099996109m²