Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81618 / 19894
↖ ↑ ↗
← N 77.202262°
E 44.170532°		 ← 67.65 m → N 77.202262°
E 44.173279°		 →
↑
67.66 m
↓
↑
67.66 m
↓
N 77.201653°
E 44.170532°		 ← 67.66 m →
4 578 m²		 N 77.201653°
E 44.173279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622699737548828 y=0.151782989501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622699737548828 × 217)
    floor (0.622699737548828 × 131072)
    floor (81618.5)     		tx = 81618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151782989501953 × 217)
    floor (0.151782989501953 × 131072)
    floor (19894.5)     		ty = 19894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81618 / 19894 ti = "17/81618/19894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81618/19894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81618 ÷ 217
    81618 ÷ 131072     		x = 0.622695922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19894 ÷ 217
    19894 ÷ 131072     		y = 0.151779174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622695922851562 × 2 - 1) × π
    0.245391845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77092122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151779174804688 × 2 - 1) × π
    0.696441650390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1879359724586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77092122} λ = 0.77092122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1879359724586))-π/2
    2×atan(8.91678960859443)-π/2
    2×1.45911499203138-π/2
    2.91822998406277-1.57079632675     		φ = 1.34743366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77092122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.170532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34743366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.202262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81618 KachelY 19894 0.77092122 1.34743366 44.170532 77.202262
    Oben rechts KachelX + 1 81619 KachelY 19894 0.77096916 1.34743366 44.173279 77.202262
    Unten links KachelX 81618 KachelY + 1 19895 0.77092122 1.34742304 44.170532 77.201653
    Unten rechts KachelX + 1 81619 KachelY + 1 19895 0.77096916 1.34742304 44.173279 77.201653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34743366-1.34742304) × R
    1.06200000000722e-05 × 6371000     		dl = 67.6600200004602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34743366-1.34742304) × R
    1.06200000000722e-05 × 6371000     		dr = 67.6600200004602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77092122-0.77096916) × cos(1.34743366) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.221510001026842 × 6371000     		do = 67.6548559811363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77092122-0.77096916) × cos(1.34742304) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.22152035719337 × 6371000     		du = 67.6580190209615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34743366)-sin(1.34742304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221510001026842-0.22152035719337)×R²
    abs(0.77096916-0.77092122)×1.03561665274476e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.03561665274476e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.03561665274476e-05×40589641000000     		ar = 4577.63591449636m²