Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81617 / 114964
↖ ↑ ↗
← S 79.312832°
E 44.167785°		 ← 56.64 m → S 79.312832°
E 44.170532°		 →
↑
56.57 m
↓
↑
56.57 m
↓
S 79.313340°
E 44.167785°		 ← 56.64 m →
3 204 m²		 S 79.313340°
E 44.170532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622692108154297 y=0.877109527587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622692108154297 × 217)
    floor (0.622692108154297 × 131072)
    floor (81617.5)     		tx = 81617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877109527587891 × 217)
    floor (0.877109527587891 × 131072)
    floor (114964.5)     		ty = 114964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81617 / 114964 ti = "17/81617/114964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81617/114964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81617 ÷ 217
    81617 ÷ 131072     		x = 0.622688293457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114964 ÷ 217
    114964 ÷ 131072     		y = 0.877105712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622688293457031 × 2 - 1) × π
    0.245376586914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.77087328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877105712890625 × 2 - 1) × π
    -0.75421142578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.36942507442014
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77087328} λ = 0.77087328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36942507442014))-π/2
    2×atan(0.0935344861913139)-π/2
    2×0.0932631407357305-π/2
    0.186526281471461-1.57079632675     		φ = -1.38427005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77087328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.167785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38427005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.312832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81617 KachelY 114964 0.77087328 -1.38427005 44.167785 -79.312832
    Oben rechts KachelX + 1 81618 KachelY 114964 0.77092122 -1.38427005 44.170532 -79.312832
    Unten links KachelX 81617 KachelY + 1 114965 0.77087328 -1.38427893 44.167785 -79.313340
    Unten rechts KachelX + 1 81618 KachelY + 1 114965 0.77092122 -1.38427893 44.170532 -79.313340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38427005--1.38427893) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dl = 56.5744799999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38427005--1.38427893) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dr = 56.5744799999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77087328-0.77092122) × cos(-1.38427005) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185446551482169 × 6371000     		do = 56.6401502168524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77087328-0.77092122) × cos(-1.38427893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185437825504207 × 6371000     		du = 56.6374850785761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38427005)-sin(-1.38427893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185446551482169-0.185437825504207)×R²
    abs(0.77092122-0.77087328)×8.72597796194863e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.72597796194863e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.72597796194863e-06×40589641000000     		ar = 3204.3116562556m²