Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81617 / 114963
↖ ↑ ↗
← S 79.312322°
E 44.167785°		 ← 56.64 m → S 79.312322°
E 44.170532°		 →
↑
56.64 m
↓
↑
56.64 m
↓
S 79.312832°
E 44.167785°		 ← 56.64 m →
3 208 m²		 S 79.312832°
E 44.170532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622692108154297 y=0.877101898193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622692108154297 × 217)
    floor (0.622692108154297 × 131072)
    floor (81617.5)     		tx = 81617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877101898193359 × 217)
    floor (0.877101898193359 × 131072)
    floor (114963.5)     		ty = 114963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81617 / 114963 ti = "17/81617/114963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81617/114963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81617 ÷ 217
    81617 ÷ 131072     		x = 0.622688293457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114963 ÷ 217
    114963 ÷ 131072     		y = 0.877098083496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622688293457031 × 2 - 1) × π
    0.245376586914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.77087328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877098083496094 × 2 - 1) × π
    -0.754196166992188 × 3.1415926535     		Φ = -2.36937713752052
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77087328} λ = 0.77087328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36937713752052))-π/2
    2×atan(0.0935389700520598)-π/2
    2×0.0932675857068925-π/2
    0.186535171413785-1.57079632675     		φ = -1.38426116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77087328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.167785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38426116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.312322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81617 KachelY 114963 0.77087328 -1.38426116 44.167785 -79.312322
    Oben rechts KachelX + 1 81618 KachelY 114963 0.77092122 -1.38426116 44.170532 -79.312322
    Unten links KachelX 81617 KachelY + 1 114964 0.77087328 -1.38427005 44.167785 -79.312832
    Unten rechts KachelX + 1 81618 KachelY + 1 114964 0.77092122 -1.38427005 44.170532 -79.312832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38426116--1.38427005) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dl = 56.6381899995421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38426116--1.38427005) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dr = 56.6381899995421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77087328-0.77092122) × cos(-1.38426116) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185455287272035 × 6371000     		do = 56.6428183519366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77087328-0.77092122) × cos(-1.38427005) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185446551482169 × 6371000     		du = 56.6401502168524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38426116)-sin(-1.38427005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185455287272035-0.185446551482169)×R²
    abs(0.77092122-0.77087328)×8.73578986568257e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.73578986568257e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.73578986568257e-06×40589641000000     		ar = 3208.0711487531m²