Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81616 / 20369
↖ ↑ ↗
← N 76.910043°
E 44.165039°		 ← 69.16 m → N 76.910043°
E 44.167785°		 →
↑
69.19 m
↓
↑
69.19 m
↓
N 76.909421°
E 44.165039°		 ← 69.16 m →
4 785 m²		 N 76.909421°
E 44.167785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622684478759766 y=0.155406951904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622684478759766 × 217)
    floor (0.622684478759766 × 131072)
    floor (81616.5)     		tx = 81616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155406951904297 × 217)
    floor (0.155406951904297 × 131072)
    floor (20369.5)     		ty = 20369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81616 / 20369 ti = "17/81616/20369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81616/20369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81616 ÷ 217
    81616 ÷ 131072     		x = 0.6226806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20369 ÷ 217
    20369 ÷ 131072     		y = 0.155403137207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6226806640625 × 2 - 1) × π
    0.245361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77082535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155403137207031 × 2 - 1) × π
    0.689193725585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.16516594513908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77082535} λ = 0.77082535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16516594513908))-π/2
    2×atan(8.7160481826754)-π/2
    2×1.45656490167563-π/2
    2.91312980335126-1.57079632675     		φ = 1.34233348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77082535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.165039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34233348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.910043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81616 KachelY 20369 0.77082535 1.34233348 44.165039 76.910043
    Oben rechts KachelX + 1 81617 KachelY 20369 0.77087328 1.34233348 44.167785 76.910043
    Unten links KachelX 81616 KachelY + 1 20370 0.77082535 1.34232262 44.165039 76.909421
    Unten rechts KachelX + 1 81617 KachelY + 1 20370 0.77087328 1.34232262 44.167785 76.909421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34233348-1.34232262) × R
    1.08599999999459e-05 × 6371000     		dl = 69.1890599996554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34233348-1.34232262) × R
    1.08599999999459e-05 × 6371000     		dr = 69.1890599996554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77082535-0.77087328) × cos(1.34233348) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.226480580367655 × 6371000     		do = 69.1585697766875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77082535-0.77087328) × cos(1.34232262) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.226491158164594 × 6371000     		du = 69.1617998342338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34233348)-sin(1.34232262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226480580367655-0.226491158164594)×R²
    abs(0.77087328-0.77082535)×1.05777969392207e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.05777969392207e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.05777969392207e-05×40589641000000     		ar = 4785.12817609573m²