Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81616 / 17095
↖ ↑ ↗
← N 78.798246°
E 44.165039°		 ← 59.32 m → N 78.798246°
E 44.167785°		 →
↑
59.31 m
↓
↑
59.31 m
↓
N 78.797712°
E 44.165039°		 ← 59.32 m →
3 519 m²		 N 78.797712°
E 44.167785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622684478759766 y=0.130428314208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622684478759766 × 217)
    floor (0.622684478759766 × 131072)
    floor (81616.5)     		tx = 81616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130428314208984 × 217)
    floor (0.130428314208984 × 131072)
    floor (17095.5)     		ty = 17095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81616 / 17095 ti = "17/81616/17095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81616/17095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81616 ÷ 217
    81616 ÷ 131072     		x = 0.6226806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17095 ÷ 217
    17095 ÷ 131072     		y = 0.130424499511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6226806640625 × 2 - 1) × π
    0.245361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77082535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130424499511719 × 2 - 1) × π
    0.739151000976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.32211135449514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77082535} λ = 0.77082535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32211135449514))-π/2
    2×atan(10.1971814583823)-π/2
    2×1.47304257905866-π/2
    2.94608515811732-1.57079632675     		φ = 1.37528883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77082535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.165039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37528883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.798246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81616 KachelY 17095 0.77082535 1.37528883 44.165039 78.798246
    Oben rechts KachelX + 1 81617 KachelY 17095 0.77087328 1.37528883 44.167785 78.798246
    Unten links KachelX 81616 KachelY + 1 17096 0.77082535 1.37527952 44.165039 78.797712
    Unten rechts KachelX + 1 81617 KachelY + 1 17096 0.77087328 1.37527952 44.167785 78.797712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37528883-1.37527952) × R
    9.30999999981807e-06 × 6371000     		dl = 59.314009998841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37528883-1.37527952) × R
    9.30999999981807e-06 × 6371000     		dr = 59.314009998841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77082535-0.77087328) × cos(1.37528883) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.194264388536412 × 6371000     		do = 59.3209680402239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77082535-0.77087328) × cos(1.37527952) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.194273521165113 × 6371000     		du = 59.3237567982632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37528883)-sin(1.37527952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194264388536412-0.194273521165113)×R²
    abs(0.77087328-0.77082535)×9.13262870080866e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.13262870080866e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.13262870080866e-06×40589641000000     		ar = 3518.64719762499m²