Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81615 / 20269
↖ ↑ ↗
← N 76.972102°
E 44.162293°		 ← 68.85 m → N 76.972102°
E 44.165039°		 →
↑
68.81 m
↓
↑
68.81 m
↓
N 76.971484°
E 44.162293°		 ← 68.85 m →
4 738 m²		 N 76.971484°
E 44.165039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622676849365234 y=0.154644012451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622676849365234 × 217)
    floor (0.622676849365234 × 131072)
    floor (81615.5)     		tx = 81615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154644012451172 × 217)
    floor (0.154644012451172 × 131072)
    floor (20269.5)     		ty = 20269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81615 / 20269 ti = "17/81615/20269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81615/20269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81615 ÷ 217
    81615 ÷ 131072     		x = 0.622673034667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20269 ÷ 217
    20269 ÷ 131072     		y = 0.154640197753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622673034667969 × 2 - 1) × π
    0.245346069335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.77077741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154640197753906 × 2 - 1) × π
    0.690719604492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.16995963510108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77077741} λ = 0.77077741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16995963510108))-π/2
    2×atan(8.75793052062578)-π/2
    2×1.45710647509772-π/2
    2.91421295019545-1.57079632675     		φ = 1.34341662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77077741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.162293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34341662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.972102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81615 KachelY 20269 0.77077741 1.34341662 44.162293 76.972102
    Oben rechts KachelX + 1 81616 KachelY 20269 0.77082535 1.34341662 44.165039 76.972102
    Unten links KachelX 81615 KachelY + 1 20270 0.77077741 1.34340582 44.162293 76.971484
    Unten rechts KachelX + 1 81616 KachelY + 1 20270 0.77082535 1.34340582 44.165039 76.971484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34341662-1.34340582) × R
    1.07999999998665e-05 × 6371000     		dl = 68.8067999991493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34341662-1.34340582) × R
    1.07999999998665e-05 × 6371000     		dr = 68.8067999991493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77077741-0.77082535) × cos(1.34341662) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225425452376668 × 6371000     		do = 68.8507356069335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77077741-0.77082535) × cos(1.34340582) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225435974376054 × 6371000     		du = 68.8539492963822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34341662)-sin(1.34340582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225425452376668-0.225435974376054)×R²
    abs(0.77082535-0.77077741)×1.05219993857542e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05219993857542e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05219993857542e-05×40589641000000     		ar = 4737.50935660093m²