Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81615 / 19867
↖ ↑ ↗
← N 77.218678°
E 44.162293°		 ← 67.57 m → N 77.218678°
E 44.165039°		 →
↑
67.60 m
↓
↑
67.60 m
↓
N 77.218070°
E 44.162293°		 ← 67.57 m →
4 568 m²		 N 77.218070°
E 44.165039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622676849365234 y=0.151576995849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622676849365234 × 217)
    floor (0.622676849365234 × 131072)
    floor (81615.5)     		tx = 81615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151576995849609 × 217)
    floor (0.151576995849609 × 131072)
    floor (19867.5)     		ty = 19867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81615 / 19867 ti = "17/81615/19867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81615/19867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81615 ÷ 217
    81615 ÷ 131072     		x = 0.622673034667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19867 ÷ 217
    19867 ÷ 131072     		y = 0.151573181152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622673034667969 × 2 - 1) × π
    0.245346069335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.77077741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151573181152344 × 2 - 1) × π
    0.696853637695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.18923026874834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77077741} λ = 0.77077741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18923026874834))-π/2
    2×atan(8.92833804824036)-π/2
    2×1.45925825139143-π/2
    2.91851650278285-1.57079632675     		φ = 1.34772018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77077741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.162293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34772018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.218678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81615 KachelY 19867 0.77077741 1.34772018 44.162293 77.218678
    Oben rechts KachelX + 1 81616 KachelY 19867 0.77082535 1.34772018 44.165039 77.218678
    Unten links KachelX 81615 KachelY + 1 19868 0.77077741 1.34770957 44.162293 77.218070
    Unten rechts KachelX + 1 81616 KachelY + 1 19868 0.77082535 1.34770957 44.165039 77.218070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34772018-1.34770957) × R
    1.0610000000133e-05 × 6371000     		dl = 67.5963100008474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34772018-1.34770957) × R
    1.0610000000133e-05 × 6371000     		dr = 67.5963100008474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77077741-0.77082535) × cos(1.34772018) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221230589639645 × 6371000     		do = 67.5695165512806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77077741-0.77082535) × cos(1.34770957) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221240936727591 × 6371000     		du = 67.5726768182735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34772018)-sin(1.34770957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221230589639645-0.221240936727591)×R²
    abs(0.77082535-0.77077741)×1.03470879463941e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03470879463941e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03470879463941e-05×40589641000000     		ar = 4567.5567986587m²