Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81613 / 20274
↖ ↑ ↗
← N 76.969007°
E 44.156800°		 ← 68.85 m → N 76.969007°
E 44.159546°		 →
↑
68.87 m
↓
↑
68.87 m
↓
N 76.968387°
E 44.156800°		 ← 68.86 m →
4 742 m²		 N 76.968387°
E 44.159546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622661590576172 y=0.154682159423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622661590576172 × 217)
    floor (0.622661590576172 × 131072)
    floor (81613.5)     		tx = 81613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154682159423828 × 217)
    floor (0.154682159423828 × 131072)
    floor (20274.5)     		ty = 20274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81613 / 20274 ti = "17/81613/20274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81613/20274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81613 ÷ 217
    81613 ÷ 131072     		x = 0.622657775878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20274 ÷ 217
    20274 ÷ 131072     		y = 0.154678344726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622657775878906 × 2 - 1) × π
    0.245315551757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.77068154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154678344726562 × 2 - 1) × π
    0.690643310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16971995060298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77068154} λ = 0.77068154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16971995060298))-π/2
    2×atan(8.75583163199013)-π/2
    2×1.45707945645042-π/2
    2.91415891290084-1.57079632675     		φ = 1.34336259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77068154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.156800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34336259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.969007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81613 KachelY 20274 0.77068154 1.34336259 44.156800 76.969007
    Oben rechts KachelX + 1 81614 KachelY 20274 0.77072947 1.34336259 44.159546 76.969007
    Unten links KachelX 81613 KachelY + 1 20275 0.77068154 1.34335178 44.156800 76.968387
    Unten rechts KachelX + 1 81614 KachelY + 1 20275 0.77072947 1.34335178 44.159546 76.968387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34336259-1.34335178) × R
    1.08099999998057e-05 × 6371000     		dl = 68.8705099987621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34336259-1.34335178) × R
    1.08099999998057e-05 × 6371000     		dr = 68.8705099987621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77068154-0.77072947) × cos(1.34336259) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.225478091338084 × 6371000     		do = 68.8524476915649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77068154-0.77072947) × cos(1.34335178) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.225488622948368 × 6371000     		du = 68.8556636454605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34336259)-sin(1.34335178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225478091338084-0.225488622948368)×R²
    abs(0.77072947-0.77068154)×1.05316102841368e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.05316102841368e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.05316102841368e-05×40589641000000     		ar = 4742.01392933631m²