Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81613 / 20018
↖ ↑ ↗
← N 77.126602°
E 44.156800°		 ← 68.03 m → N 77.126602°
E 44.159546°		 →
↑
68.04 m
↓
↑
68.04 m
↓
N 77.125990°
E 44.156800°		 ← 68.04 m →
4 629 m²		 N 77.125990°
E 44.159546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622661590576172 y=0.152729034423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622661590576172 × 217)
    floor (0.622661590576172 × 131072)
    floor (81613.5)     		tx = 81613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152729034423828 × 217)
    floor (0.152729034423828 × 131072)
    floor (20018.5)     		ty = 20018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81613 / 20018 ti = "17/81613/20018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81613/20018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81613 ÷ 217
    81613 ÷ 131072     		x = 0.622657775878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20018 ÷ 217
    20018 ÷ 131072     		y = 0.152725219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622657775878906 × 2 - 1) × π
    0.245315551757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.77068154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152725219726562 × 2 - 1) × π
    0.694549560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18199179690572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77068154} λ = 0.77068154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18199179690572))-π/2
    2×atan(8.86394386358634)-π/2
    2×1.45845473329832-π/2
    2.91690946659665-1.57079632675     		φ = 1.34611314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77068154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.156800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34611314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.126602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81613 KachelY 20018 0.77068154 1.34611314 44.156800 77.126602
    Oben rechts KachelX + 1 81614 KachelY 20018 0.77072947 1.34611314 44.159546 77.126602
    Unten links KachelX 81613 KachelY + 1 20019 0.77068154 1.34610246 44.156800 77.125990
    Unten rechts KachelX + 1 81614 KachelY + 1 20019 0.77072947 1.34610246 44.159546 77.125990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34611314-1.34610246) × R
    1.06799999999296e-05 × 6371000     		dl = 68.0422799995517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34611314-1.34610246) × R
    1.06799999999296e-05 × 6371000     		dr = 68.0422799995517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77068154-0.77072947) × cos(1.34611314) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.222797523294875 × 6371000     		do = 68.0339039923369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77068154-0.77072947) × cos(1.34610246) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.222807934837604 × 6371000     		du = 68.0370832821602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34611314)-sin(1.34610246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222797523294875-0.222807934837604)×R²
    abs(0.77072947-0.77068154)×1.04115427292106e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04115427292106e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04115427292106e-05×40589641000000     		ar = 4629.29010797522m²