Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81613 / 19882
↖ ↑ ↗
← N 77.209560°
E 44.156800°		 ← 67.60 m → N 77.209560°
E 44.159546°		 →
↑
67.60 m
↓
↑
67.60 m
↓
N 77.208952°
E 44.156800°		 ← 67.61 m →
4 570 m²		 N 77.208952°
E 44.159546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622661590576172 y=0.151691436767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622661590576172 × 217)
    floor (0.622661590576172 × 131072)
    floor (81613.5)     		tx = 81613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151691436767578 × 217)
    floor (0.151691436767578 × 131072)
    floor (19882.5)     		ty = 19882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81613 / 19882 ti = "17/81613/19882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81613/19882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81613 ÷ 217
    81613 ÷ 131072     		x = 0.622657775878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19882 ÷ 217
    19882 ÷ 131072     		y = 0.151687622070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622657775878906 × 2 - 1) × π
    0.245315551757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.77068154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151687622070312 × 2 - 1) × π
    0.696624755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18851121525404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77068154} λ = 0.77068154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18851121525404))-π/2
    2×atan(8.92192040316005)-π/2
    2×1.45917868518199-π/2
    2.91835737036398-1.57079632675     		φ = 1.34756104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77068154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.156800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34756104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.209560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81613 KachelY 19882 0.77068154 1.34756104 44.156800 77.209560
    Oben rechts KachelX + 1 81614 KachelY 19882 0.77072947 1.34756104 44.159546 77.209560
    Unten links KachelX 81613 KachelY + 1 19883 0.77068154 1.34755043 44.156800 77.208952
    Unten rechts KachelX + 1 81614 KachelY + 1 19883 0.77072947 1.34755043 44.159546 77.208952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34756104-1.34755043) × R
    1.0609999999911e-05 × 6371000     		dl = 67.5963099994328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34756104-1.34755043) × R
    1.0609999999911e-05 × 6371000     		dr = 67.5963099994328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77068154-0.77072947) × cos(1.34756104) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.221385783591363 × 6371000     		do = 67.6028122906405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77068154-0.77072947) × cos(1.34755043) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.221396130305627 × 6371000     		du = 67.605971784312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34756104)-sin(1.34755043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221385783591363-0.221396130305627)×R²
    abs(0.77072947-0.77068154)×1.03467142640312e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.03467142640312e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.03467142640312e-05×40589641000000     		ar = 4569.80744143762m²