Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81613 / 115056
↖ ↑ ↗
← S 79.359590°
E 44.156800°		 ← 56.38 m → S 79.359590°
E 44.159546°		 →
↑
56.38 m
↓
↑
56.38 m
↓
S 79.360097°
E 44.156800°		 ← 56.38 m →
3 179 m²		 S 79.360097°
E 44.159546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622661590576172 y=0.877811431884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622661590576172 × 217)
    floor (0.622661590576172 × 131072)
    floor (81613.5)     		tx = 81613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877811431884766 × 217)
    floor (0.877811431884766 × 131072)
    floor (115056.5)     		ty = 115056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81613 / 115056 ti = "17/81613/115056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81613/115056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81613 ÷ 217
    81613 ÷ 131072     		x = 0.622657775878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115056 ÷ 217
    115056 ÷ 131072     		y = 0.8778076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622657775878906 × 2 - 1) × π
    0.245315551757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.77068154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8778076171875 × 2 - 1) × π
    -0.755615234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.37383526918518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77068154} λ = 0.77068154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37383526918518))-π/2
    2×atan(0.0931228891686029)-π/2
    2×0.0928550978714685-π/2
    0.185710195742937-1.57079632675     		φ = -1.38508613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77068154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.156800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38508613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.359590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81613 KachelY 115056 0.77068154 -1.38508613 44.156800 -79.359590
    Oben rechts KachelX + 1 81614 KachelY 115056 0.77072947 -1.38508613 44.159546 -79.359590
    Unten links KachelX 81613 KachelY + 1 115057 0.77068154 -1.38509498 44.156800 -79.360097
    Unten rechts KachelX + 1 81614 KachelY + 1 115057 0.77072947 -1.38509498 44.159546 -79.360097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38508613--1.38509498) × R
    8.85000000017122e-06 × 6371000     		dl = 56.3833500010908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38508613--1.38509498) × R
    8.85000000017122e-06 × 6371000     		dr = 56.3833500010908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77068154-0.77072947) × cos(-1.38508613) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184644565254717 × 6371000     		do = 56.3834392746823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77068154-0.77072947) × cos(-1.38509498) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18463586742001 × 6371000     		du = 56.3807832862195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38508613)-sin(-1.38509498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184644565254717-0.18463586742001)×R²
    abs(0.77072947-0.77068154)×8.69783470694441e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.69783470694441e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.69783470694441e-06×40589641000000     		ar = 3179.01231405302m²