Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81613 / 114949
↖ ↑ ↗
← S 79.305188°
E 44.156800°		 ← 56.67 m → S 79.305188°
E 44.159546°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
S 79.305698°
E 44.156800°		 ← 56.67 m →
3 213 m²		 S 79.305698°
E 44.159546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622661590576172 y=0.876995086669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622661590576172 × 217)
    floor (0.622661590576172 × 131072)
    floor (81613.5)     		tx = 81613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876995086669922 × 217)
    floor (0.876995086669922 × 131072)
    floor (114949.5)     		ty = 114949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81613 / 114949 ti = "17/81613/114949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81613/114949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81613 ÷ 217
    81613 ÷ 131072     		x = 0.622657775878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114949 ÷ 217
    114949 ÷ 131072     		y = 0.876991271972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622657775878906 × 2 - 1) × π
    0.245315551757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.77068154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876991271972656 × 2 - 1) × π
    -0.753982543945312 × 3.1415926535     		Φ = -2.36870602092583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77068154} λ = 0.77068154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36870602092583))-π/2
    2×atan(0.0936017666766825)-π/2
    2×0.0933298372930963-π/2
    0.186659674586193-1.57079632675     		φ = -1.38413665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77068154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.156800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38413665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.305188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81613 KachelY 114949 0.77068154 -1.38413665 44.156800 -79.305188
    Oben rechts KachelX + 1 81614 KachelY 114949 0.77072947 -1.38413665 44.159546 -79.305188
    Unten links KachelX 81613 KachelY + 1 114950 0.77068154 -1.38414555 44.156800 -79.305698
    Unten rechts KachelX + 1 81614 KachelY + 1 114950 0.77072947 -1.38414555 44.159546 -79.305698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38413665--1.38414555) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dl = 56.7018999991549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38413665--1.38414555) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dr = 56.7018999991549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77068154-0.77072947) × cos(-1.38413665) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185577635922345 × 6371000     		do = 56.6683636278828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77068154-0.77072947) × cos(-1.38414555) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185568890511509 × 6371000     		du = 56.6656931114767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38413665)-sin(-1.38414555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185577635922345-0.185568890511509)×R²
    abs(0.77072947-0.77068154)×8.74541083598079e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.74541083598079e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.74541083598079e-06×40589641000000     		ar = 3213.12817580427m²