Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81612 / 19775
↖ ↑ ↗
← N 77.274460°
E 44.154053°		 ← 67.28 m → N 77.274460°
E 44.156800°		 →
↑
67.28 m
↓
↑
67.28 m
↓
N 77.273855°
E 44.154053°		 ← 67.28 m →
4 527 m²		 N 77.273855°
E 44.156800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622653961181641 y=0.150875091552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622653961181641 × 217)
    floor (0.622653961181641 × 131072)
    floor (81612.5)     		tx = 81612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150875091552734 × 217)
    floor (0.150875091552734 × 131072)
    floor (19775.5)     		ty = 19775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81612 / 19775 ti = "17/81612/19775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81612/19775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81612 ÷ 217
    81612 ÷ 131072     		x = 0.622650146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19775 ÷ 217
    19775 ÷ 131072     		y = 0.150871276855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622650146484375 × 2 - 1) × π
    0.24530029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77063360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150871276855469 × 2 - 1) × π
    0.698257446289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.19364046351339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77063360} λ = 0.77063360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19364046351339))-π/2
    2×atan(8.9678007130183)-π/2
    2×1.45974503875069-π/2
    2.91949007750139-1.57079632675     		φ = 1.34869375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77063360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.154053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34869375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.274460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81612 KachelY 19775 0.77063360 1.34869375 44.154053 77.274460
    Oben rechts KachelX + 1 81613 KachelY 19775 0.77068154 1.34869375 44.156800 77.274460
    Unten links KachelX 81612 KachelY + 1 19776 0.77063360 1.34868319 44.154053 77.273855
    Unten rechts KachelX + 1 81613 KachelY + 1 19776 0.77068154 1.34868319 44.156800 77.273855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34869375-1.34868319) × R
    1.05599999999928e-05 × 6371000     		dl = 67.2777599999541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34869375-1.34868319) × R
    1.05599999999928e-05 × 6371000     		dr = 67.2777599999541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77063360-0.77068154) × cos(1.34869375) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220281038522417 × 6371000     		do = 67.2794991986335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77063360-0.77068154) × cos(1.34868319) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220291339119025 × 6371000     		du = 67.282645265975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34869375)-sin(1.34868319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220281038522417-0.220291339119025)×R²
    abs(0.77068154-0.77063360)×1.03005966084202e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03005966084202e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03005966084202e-05×40589641000000     		ar = 4526.51983031904m²