Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81612 / 115144
↖ ↑ ↗
← S 79.404126°
E 44.154053°		 ← 56.16 m → S 79.404126°
E 44.156800°		 →
↑
56.19 m
↓
↑
56.19 m
↓
S 79.404631°
E 44.154053°		 ← 56.16 m →
3 156 m²		 S 79.404631°
E 44.156800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622653961181641 y=0.878482818603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622653961181641 × 217)
    floor (0.622653961181641 × 131072)
    floor (81612.5)     		tx = 81612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878482818603516 × 217)
    floor (0.878482818603516 × 131072)
    floor (115144.5)     		ty = 115144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81612 / 115144 ti = "17/81612/115144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81612/115144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81612 ÷ 217
    81612 ÷ 131072     		x = 0.622650146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115144 ÷ 217
    115144 ÷ 131072     		y = 0.87847900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622650146484375 × 2 - 1) × π
    0.24530029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77063360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87847900390625 × 2 - 1) × π
    -0.7569580078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37805371635175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77063360} λ = 0.77063360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37805371635175))-π/2
    2×atan(0.0927308825914871)-π/2
    2×0.0924664474533581-π/2
    0.184932894906716-1.57079632675     		φ = -1.38586343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77063360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.154053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38586343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.404126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81612 KachelY 115144 0.77063360 -1.38586343 44.154053 -79.404126
    Oben rechts KachelX + 1 81613 KachelY 115144 0.77068154 -1.38586343 44.156800 -79.404126
    Unten links KachelX 81612 KachelY + 1 115145 0.77063360 -1.38587225 44.154053 -79.404631
    Unten rechts KachelX + 1 81613 KachelY + 1 115145 0.77068154 -1.38587225 44.156800 -79.404631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38586343--1.38587225) × R
    8.8200000001315e-06 × 6371000     		dl = 56.1922200008378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38586343--1.38587225) × R
    8.8200000001315e-06 × 6371000     		dr = 56.1922200008378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77063360-0.77068154) × cos(-1.38586343) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18388057494112 × 6371000     		do = 56.1618606729803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77063360-0.77068154) × cos(-1.38587225) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183871905327388 × 6371000     		du = 56.1592127497906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38586343)-sin(-1.38587225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18388057494112-0.183871905327388)×R²
    abs(0.77068154-0.77063360)×8.66961373213737e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.66961373213737e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.66961373213737e-06×40589641000000     		ar = 3155.78523442933m²