Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81611 / 19642
↖ ↑ ↗
← N 77.354678°
E 44.151306°		 ← 66.86 m → N 77.354678°
E 44.154053°		 →
↑
66.90 m
↓
↑
66.90 m
↓
N 77.354076°
E 44.151306°		 ← 66.87 m →
4 473 m²		 N 77.354076°
E 44.154053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622646331787109 y=0.149860382080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622646331787109 × 217)
    floor (0.622646331787109 × 131072)
    floor (81611.5)     		tx = 81611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149860382080078 × 217)
    floor (0.149860382080078 × 131072)
    floor (19642.5)     		ty = 19642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81611 / 19642 ti = "17/81611/19642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81611/19642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81611 ÷ 217
    81611 ÷ 131072     		x = 0.622642517089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19642 ÷ 217
    19642 ÷ 131072     		y = 0.149856567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622642517089844 × 2 - 1) × π
    0.245285034179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.77058566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149856567382812 × 2 - 1) × π
    0.700286865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.20001607116286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77058566} λ = 0.77058566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20001607116286))-π/2
    2×atan(9.02515854306136)-π/2
    2×1.46044507224546-π/2
    2.92089014449092-1.57079632675     		φ = 1.35009382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77058566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.151306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35009382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.354678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81611 KachelY 19642 0.77058566 1.35009382 44.151306 77.354678
    Oben rechts KachelX + 1 81612 KachelY 19642 0.77063360 1.35009382 44.154053 77.354678
    Unten links KachelX 81611 KachelY + 1 19643 0.77058566 1.35008332 44.151306 77.354076
    Unten rechts KachelX + 1 81612 KachelY + 1 19643 0.77063360 1.35008332 44.154053 77.354076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35009382-1.35008332) × R
    1.04999999999134e-05 × 6371000     		dl = 66.895499999448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35009382-1.35008332) × R
    1.04999999999134e-05 × 6371000     		dr = 66.895499999448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77058566-0.77063360) × cos(1.35009382) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.218915143763875 × 6371000     		do = 66.862319781399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77058566-0.77063360) × cos(1.35008332) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.218925389062765 × 6371000     		du = 66.8654489593939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35009382)-sin(1.35008332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218915143763875-0.218925389062765)×R²
    abs(0.77063360-0.77058566)×1.02452988897939e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.02452988897939e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.02452988897939e-05×40589641000000     		ar = 4472.89297687816m²