Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81609 / 115040
↖ ↑ ↗
← S 79.351472°
E 44.145813°		 ← 56.43 m → S 79.351472°
E 44.148559°		 →
↑
56.38 m
↓
↑
56.38 m
↓
S 79.351979°
E 44.145813°		 ← 56.42 m →
3 181 m²		 S 79.351979°
E 44.148559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622631072998047 y=0.877689361572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622631072998047 × 217)
    floor (0.622631072998047 × 131072)
    floor (81609.5)     		tx = 81609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877689361572266 × 217)
    floor (0.877689361572266 × 131072)
    floor (115040.5)     		ty = 115040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81609 / 115040 ti = "17/81609/115040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81609/115040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81609 ÷ 217
    81609 ÷ 131072     		x = 0.622627258300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115040 ÷ 217
    115040 ÷ 131072     		y = 0.877685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622627258300781 × 2 - 1) × π
    0.245254516601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.77048979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877685546875 × 2 - 1) × π
    -0.75537109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.37306827879126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77048979} λ = 0.77048979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37306827879126))-π/2
    2×atan(0.0931943409279531)-π/2
    2×0.0929259348699462-π/2
    0.185851869739892-1.57079632675     		φ = -1.38494446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77048979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.145813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38494446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.351472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81609 KachelY 115040 0.77048979 -1.38494446 44.145813 -79.351472
    Oben rechts KachelX + 1 81610 KachelY 115040 0.77053772 -1.38494446 44.148559 -79.351472
    Unten links KachelX 81609 KachelY + 1 115041 0.77048979 -1.38495331 44.145813 -79.351979
    Unten rechts KachelX + 1 81610 KachelY + 1 115041 0.77053772 -1.38495331 44.148559 -79.351979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38494446--1.38495331) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dl = 56.3833499996762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38494446--1.38495331) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dr = 56.3833499996762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77048979-0.77053772) × cos(-1.38494446) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184783797437298 × 6371000     		do = 56.4259554965966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77048979-0.77053772) × cos(-1.38495331) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184775099834176 × 6371000     		du = 56.4232995788513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38494446)-sin(-1.38495331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184783797437298-0.184775099834176)×R²
    abs(0.77053772-0.77048979)×8.69760312133261e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.69760312133261e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.69760312133261e-06×40589641000000     		ar = 3181.40952316922m²